Математика
.pdfПример
Решим предыдущую систему матричным методом.
Решение
|
x |
|
|
3 |
|
|
Матрица |
1 |
|
, матрица |
|
|
. Выпишем матри- |
X = x2 |
|
B = 11 |
||||
|
x3 |
|
8 |
|
цу А и найдем обратную к ней.
|
|
1 |
−1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
A = |
2 |
|
|
|
1 1 . Определитель этой матрицы |
= 5 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Вычислим алгебраические дополнения элементов aij . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A |
|
= |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
=1; A |
|
= − |
|
2 |
1 |
|
|
= –3; |
A |
|
|
= |
|
2 |
1 |
|
=1; |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
11 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
A |
|
= − |
|
|
−11 |
|
=3; |
A |
= |
|
1 |
1 |
|
|
=1; A |
|
= − |
|
|
1 −1 |
|
|
|
= –2; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
21 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
22 |
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
A |
|
= |
|
−11 |
|
= –2; |
A |
= − |
|
1 |
1 |
|
=1; |
A |
|
|
= |
|
1 −1 |
|
=3. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
31 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
33 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Обратная матрица будет иметь вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
1 |
|
3 |
− 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
A |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
−3 |
|
1 |
|
1 |
. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
3 − |
|
2 |
3 |
|
|
|
1 |
20 |
4 |
|
|||||||||||||||||||||||
X = А |
−1 |
В = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
5 |
−3 1 1 |
|
11 |
= |
|
|
|
|
10 = 2 |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
5 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
1 |
|
|||||||||||||||||||||||
Отсюда |
|
x 0 |
= 4, |
|
x |
0 = 2, |
|
|
|
|
x 0 |
=1 (этот ответ совпадает |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с ответом, полученным по формулам Крамера).
11
4. Векторная алгебра
Вектором a называется направленный отрезок прямой. Если точка А – начало вектора, точка В – его конец, то
вектор a может обозначаться AB = a . Длиной или модулем
вектора AB называется число, равное длине отрезка АВ. Рассматривают также вектор, у которого начало и конец
совпадают. Его называют нуль-вектором и обозначают 0 . Нуль-вектор не имеет определенного направления, и его модуль равен нулю.
Векторы a и b , расположенные на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными. Два
вектора a и b называются равными, если они: 1)имеют равные модули; 2) коллинеарны; 3) направлены в одну сто-
рону. Три вектора a, b, c , параллельные одной плоскости
или лежащие в одной плоскости, называются компланарны-
ми.
Произведением вектора a на число λ называется вектор b = λa , имеющий длину b = λ a , направление кото-
рого совпадает с направлением вектора a , если λ > 0 , и противоположно ему, если λ < 0 . При λ = 0 получаем нуль-вектор.
Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат OXYZ. Отнесем к каждой из осей единичные
векторы i, j,k так, что их направления будут совпадать с положительным направлением соответствующей оси. Единичные векторыi, j,k называются базисными векторами или базисом. Тогда любой вектор в пространстве может быть задан своими координатами a = {x, y, z}, где х – про-
екция вектора а на ось ОХ, y,z – соответственно на оси OY, 12
OZ. С другой стороны, вектор а может быть представлен в виде линейной комбинации базисных векторов:
a = x i + y j + z k
Над векторами можно производить линейные операции, к которым относятся следующие:
1.Сумма двух векторов a = {x1 , y1 , z1} и b = {x2 , y2 , z2 }
–это вектор c с координатами c = {x1 + x2 , y1 + y2 , z1 + z2 }.
2.Разность двух векторов a −b определяется векто-
ром d с координатами d = {x1 − x2 , y1 − y2 , z1 − z2 }.
3. При умножении вектора на скаляр λ , его координаты умножаются на данное число: λa = {λx1 , λy1 , λz1}.
Длина или модуль вектора a определяется через его координаты формулой a = x 2 + y 2 + z 2 . Возможны и другие действия с векторами. Рассмотрим их.
Скалярным произведением векторов a и b называется число, равное произведению модулей этих векторов на ко-
синус угла между ними: a b = a b cosϕ . Можно показать,
что скалярное произведение векторов через их координаты выражается следующим образом:
a b = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 .
С помощью скалярного произведения можно найти
угол между векторами cosϕ = |
|
|
a |
|
b |
, а также проекцию век- |
||||||||
|
|
a |
|
|
|
b |
|
|
||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
b |
|
|
тора на заданное направление |
|
пр a = |
. Равенство нулю |
|||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
b |
|
|
b |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
скалярного произведения является необходимым и достаточным условием перпендикулярности векторов.
В дальнейшем будем использовать еще один вид произведения: векторное произведение двух векторов. Вектор-
ным произведением двух векторов a и b называется вектор
с, который удовлетворяет трем условиям:
1)модуль с вектора численно равен площади парал-
лелограмма, построенного на векторах a и b , то есть
с= a b sinϕ , где ϕ – угол между векторами a и b ;
2)вектор с перпендикулярен векторам a и b ;
3)вектор с направлен так, что три вектора a, b, c об-
разуют правую тройку. Векторное произведение векторов a
и b будем обозначать символом а×b . Можно показать, что векторное произведение выражается через координаты век-
i j k
торов a и b следующим образом a ×b = x1 y1 z1 , где x2 y2 z2
i, j, k – единичные базисные векторы.
По определению модуль векторного произведения ра-
вен площади параллелограмма |
a ×b |
= Sпар . Тогда площадь |
треугольника, построенного на |
векторах a и b , равна |
S = 12 a ×b . Необходимым и достаточным условием кол-
линеарности двух векторов является равенство нулю их векторного произведения.
Смешанным произведением трех векторов a, b, c на-
зывается число, равное скалярному произведению вектора
14
a ×b на вектор c . Формула, выражающая смешанное произведение векторов a, b, c через их координаты, имеет
|
x1 |
y1 |
z1 |
|
вид: a b c = |
x2 |
y2 |
z2 |
. Необходимым и достаточным усло- |
|
x3 |
y3 |
z3 |
|
вием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения. Объем параллелепипеда,
построенного на трех векторах a, b, c , равен модулю их смешанного произведения. Объем пирамиды, построенной
на этих векторах, равен 16 abc .
Пример
Даны координаты четырех точек А(1; 2;3), B( 0;-1;1), C(2;5;2), D(3;0;-2). Доказать, что они не лежат в одной плоскости. Найти объем пирамиды АВСD, длины ее ребер, площадь грани АВС, плоский угол ВАС.
Решение
Проверим, лежат ли точки А, В, С, D в одной плоско-
сти. Для этого введем три вектора |
АВ, АС, АD и проверим, |
|||||||
компланарны ли они. Найдем |
координаты |
векторов: |
||||||
AB = {−1;−3;−2}, |
AC = {1;3;−1}, |
AD = {2;−2;−5}. |
Тогда |
|||||
AB AC AD = |
|
−1 |
−3 |
− 2 |
|
= 24 ≠ 0 .Значит векторы не ком- |
||
|
|
|||||||
|
1 |
3 |
−1 |
|
||||
|
|
2 |
− 2 |
−5 |
|
|
|
|
планарны, и точки А, В, С, D не лежат в одной плоскости. Найдем координаты других векторов:
BD = {3;1;−3}, DC = {−1;5;4}, BC = {2;6;1}. Длины ре-
бер пирамиды будут равны: AB = 1+9 + 4 = 14 ,
15
AC = 1 +9 +1 = 11 , |
AD = 4 + 4 + 25 = 23 , |
|
BD = |
9 +1 +9 = 19 , |
DC = 1 + 25 +16 = 42 , |
BC = |
4 +36 +1 = 41 . |
|
Vпир = |
1 |
24 = 4 . |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||||
6 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Вычислим площадь грани АВС. Для этого найдем век- |
|||||||||||
торное произведение векторов АВ, AC : |
|
|
|
||||||||
|
|
|
i |
j |
k |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
AB × AC = |
−1 − 3 − 2 |
= 9i − 3 j . |
|
|
|
||||||
|
|
|
1 |
|
3 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 1 |
|
|
|
|
|
||
Тогда S ABC |
92 +32 + 02 = 3 10 . |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
Осталось найти угол ВАС с помощью скалярного про- |
|||||||||||
изведения тех же векторов: |
|
|
|
||||||||
cosϕ = |
AB |
AC |
= ( −1) 1 +( −3) 3 +( −2 ) ( −1) |
== − |
8 |
, |
|||||
|
AB |
AC |
|
14 11 |
|
154 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ= arccos − .
154
5.Уравнения плоскости и прямой
впространстве 8
Пусть в пространстве задана прямоугольная система координат Оxyz. Уравнение F(x,y,z)=0 является уравнением данной поверхности, если координаты каждой точки, лежащей на этой поверхности, удовлетворяют данному уравнению, а координаты любой точки, не лежащей на этой поверхности, – не удовлетворяют. Простейшим видом поверх-
16
ности является плоскость. Рассмотрим различные формы уравнений плоскости.
Пусть в пространстве плоскость (α ) задана точкой М0 (x0 , y0 , z0 ) и вектором n = {A,B,C}, перпендикулярным
плоскости (такой вектор называется нормальным вектором плоскости). Тогда можно записать каноническое уравнение плоскости А(x − x0 ) + B( y − y0 ) +C(z − z0 ) = 0 . Уравнение вида Ax + By +Cz + D = 0 называется общим уравнением.
Уравнение ax + by + cz =1 называется уравнением плоскости
в отрезках. Здесь a – величина отрезка, отсекаемого плоскостью на оси Оx, b – на оси Oy, с – на оси Oz.
Если известны три точки плоскости, не лежащие на
одной прямой, М1 (x1 , y1 , z1 ) , M 2 (x2 , y2 , z2 ) , |
M 3 (x3 , y3 , z3 ) , |
|||
то |
из |
условия |
компланарности |
векторов |
М1М, М1М2 , М1М3 , где |
М( x, y,z )– текущая точка плос- |
|||
кости (α ), |
можно получить уравнение плоскости, прохо- |
дящей через три заданные точки:
x − x1 |
y − y1 |
z − z1 |
|
|
|
||||
x2 − x1 |
y2 − y1 |
z2 − z1 |
|
= 0 |
x3 − x1 |
y3 − y1 |
z3 − z1 |
|
|
Расстояние от точки M 0 (x0 , y0 , z0 ) до плоскости (α ), заданной общим уравнением, вычисляется по формуле
d = Ax0 + By0 +Cz0 + D . |
|
|
A2 + B2 |
+C 2 |
|
Прямая линия может быть определена как линия пере- |
||
сечения двух плоскостей A1 x + B1 y +C1 z + D1 = 0 |
. Удоб- |
|
A2 x + B2 y +C2 z + D2 = 0 |
|
|
нее использовать канонические |
уравнения |
прямой |
|
|
17 |
x − x0 |
= |
y − y0 |
= |
z − z0 |
, где М0( x0 , y0 , z0 ) – точка на пря- |
|
A |
B |
C |
||||
|
|
|
мой, l = {A,B,C} – направляющий вектор прямой (то есть
вектор, лежащий на прямой или параллельный ей). За направляющий вектор прямой можно взять вектор, равный векторному произведению нормальных векторов плоско-
стей: l = n1 ×n2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение прямой, |
проходящей |
через |
две точки |
||||||||||||
М1 (x1 , y1 , z1 ) , M 2 (x2 , y2 , z2 ) , можно записать в виде: |
|||||||||||||||
|
x − x1 |
= |
y − y1 |
|
= |
z − z1 |
. |
|
|||||||
|
x |
|
− x |
|
|
|
|
||||||||
|
2 |
|
y |
2 |
− y |
|
|
z |
2 |
− z |
|
||||
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
||||
Из канонических уравнений прямой можно вывести |
|||||||||||||||
параметрические уравнения прямой, |
приравнивая каждое |
||||||||||||||
|
|
|
|
x = At + x0 |
|
|
|
|
|
||||||
из отношений параметру t: y = Bt + y0 , где − ∞ < t < +∞. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
+ z0 |
|
|
|
|
|
|||
Пример |
|
|
z = Ct |
|
|
|
|
|
|||||||
В системе Oxyz даны точки |
|
А(-1;0;-7), |
B( -5;1;-4), |
||||||||||||
C(-10; 3; 0), D(5; 2; -1). Найти: 1) уравнение плоскости (α ), |
|||||||||||||||
проходящей через точки А, В, С; |
|
2) расстояние |
от начала |
координат до плоскости ; 3) координаты точек пересечения плоскости (α ) с осями координат; 4) cоставить уравнение прямой, перпендикулярной плоскости (α ) и проходящей через точку D; 5) найти проекцию точки D на плоскость (α ) и расстояние от точки D до плоскости (α ); 6) составить уравнение плоскости, проходящей через точку D параллельно плоскости (α ).
18
Решение
1)Уравнение плоскости, проходящей через три точки А,
В, С, будет иметь вид |
|
x +1 |
y −0 |
z + 7 |
|
= 0 . |
|
|
|||||
|
−5 +1 |
1 −0 |
− 4 + 7 |
|
||
|
|
−10 +1 |
3 −0 |
0 + 7 |
|
|
Раскрывая определитель по элементам первой строки, получим
( x +1) |
|
1 3 |
|
− y |
|
− 4 |
3 |
|
+( z + 7 ) |
|
− 4 |
1 |
|
= 0 ; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
3 7 |
|
|
|
− 9 |
7 |
|
|
|
− 9 |
3 |
|
|
или :– 2(x+1)+y–3(z+7)=0; 2x–y+3z+23=0.
Таким образом, уравнение плоскости (α ) имеет вид:
2x–y+3z+23=0.
2) Расстояние от точки О(0,0,0) - начала координат до этой плоскости найдем по формуле
d = 2 0 +( −1) 0 + 3 0 + 23 = |
23 . |
|||||||||||
4 +1 + 9 |
|
|
|
|
|
14 |
||||||
3) Приведем уравнение плоскости (α ) к виду «в от- |
||||||||||||
резках». Получим |
|
x |
+ |
y |
+ |
z |
=1. Тогда точки пере- |
|||||
|
|
23 |
|
|
23 |
|
||||||
|
− |
23 |
− |
|
|
|
||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
сечения плоскости (α ) с осями будут иметь координаты: с
|
|
|
23 |
|
(0;23;0), с осью Oz |
|
осью Ох – М1 |
|
− |
|
;0;0 , с осью Oy – М2 |
||
2 |
||||||
|
|
|
|
|
–М3 0;0;− 23 .
3
4)Найдем канонические уравнения прямой, проходящей через точку D перпендикулярно плоскости (α ). Из условия перпендикулярности прямой и плоскости следует, что за направляющий вектор прямой можно принять нор-
19
мальный вектор плоскости l = n = {2;−1; 3}. Тогда канонические уравнения прямой будут иметь вид:
|
x −5 |
= |
y − 2 |
= |
z +1 |
. |
|
|
|
−1 |
|
||||
2 |
|
|
3 |
|
|||
5) Найдем координаты точки D′– проекции точки D |
|||||||
на плоскость (α ). |
Параметрические уравнения прямой бу- |
||||||
дут иметь |
|
вид: x = 5 + 2t; y = 2 −t; z = −1 + 3t . Так как |
|||||
точка D′ |
лежит и на проектирующей прямой и на плоско- |
сти(α ), то ее координаты должны удовлетворять уравнению плоскости (α ). Подставим значения x, y, z из параметрических уравнений в уравнение плоскости (α ). Получим
2(5+2t)–-(2–t)+3(-1+3t)+23=0.
Откуда найдем t = –2 – значение параметра t, отвечающее точке пересечения прямой и плоскости (α ). Далее найдем координаты проекции точки D на плоскость (α ):
x=5+2(–2)=1; |
y=2–(–2)=4; |
z = −1 + 3( −2 ) = −7 , то |
есть |
||
′ |
|
|
|
|
|
D (1;4;−7) . |
|
|
|
|
|
Расстояние от точки D до плоскости (α ) найдем по |
|||||
формуле |
|
|
|
|
|
d1 |
= 2 5 +( −1) 2 + 3 ( −1) + 23 = 28 = 2 14 . |
|
|||
|
|
14 |
14 |
|
|
6) Так как искомая плоскость ( β ) параллельна плос- |
|||||
кости |
(α ), |
то нормаль |
к плоскости |
( β ) |
равна |
nβ = nα |
= {2;−1;3}. Тогда уравнение плоскости |
( β) |
будет |
||
иметь |
вид: |
2( x −5 ) +( −1)( y − 2 ) + 3( z +1) = 0 |
или |
2x − y + 3z −5 = 0 .
6. Линии второго порядка
Линия второго порядка – это линия, которая в декартовой системе координат задается уравнением второй степени относительно x и y.
20