12. Уравнение прямой в пространстве

Прямая линия может быть определена как линия пересечения двух плоскостей a и b , заданных соответственно уравнениями:

a : А1x + B1 y + C1z + D1 = 0 , b: A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 :

37

c) составить уравнение плоскости b , проходящей через точку M параллельно плоскости a .

Решение:

a) найдем канонические уравнения прямойl, проходящей через точкуM

перпендикулярно плоскости a . Из перпендикулярности прямой l и плоскости

a следует, что за направляющий вектор прямой можно принятьнормальный

вектор плоскости l = na = {2;-1; 3}. Тогда канонические уравнения прямой,

согласно формуле (12.1) будут иметь следующий вид:

Перейдем от канонических уравнений прямой l к параметрическим уравнениям

: x = 5 + 2t; y = 2 - t; z = -1 + 3t . Так как точка M ¢ лежит и на прямой l и на

плоскости a , то ее координаты должны удовлетворять уравнению плоскости a . Подставим значения x, y, z из параметрических уравнений в уравнение плоскости a . Получим

2(5 + 2t) – (2–t) + 3(-1 + 3t) + 23 = 0.

Решив уравнение, найдем параметр t = –2 , соответствующий точке пересечения прямой l и плоскости a . Далее найдем координаты проекции M ¢

точки M на плоскость a : x = 5 + 2(–2) = 1;

y = 2 – (–2) = 4;

38

плоскости b равна nb = na = {2; -1; 3}. Тогда уравнение плоскости ( b) будет иметь вид: 2(x - 5) + (-1)( y - 2) + 3(z +1) = 0 или 2x - y + 3z - 5 = 0 .

Иллюстрация хода решения задачи представлена на рис. 12.1.

Рис. 12.1. Проекция точки на плоскость, расстояние от точки до плоскости, параллельность плоскостей

13. Кривые второго порядка

При изучении линий поуравнениям естественно располагать их по сложности этих уравнений. Самой простой линией с этой точки зрения следует считать прямую, ибо ее уравнение имеет первую степень. Следующими по своей сложности за прямой должны считаться линии, уравнения которых

39

имеют вторую степень. Таких линий (они называются квадриками – кривыми второго порядка) три: эллипс, гипербола и парабола. Они играют большую роль в математике, естествознании и технике.

1. Эллипсом называется линия, для всех точек которой сумма расстояний от двух данных точек F1(с; 0) и F2(– с; 0), называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2a , большая, чем расстояние между фокусами.

уравнения эллипса вытекает, что оси эллипса являются осями симметрии, а

точка О является его центром симметрии и называется центром эллипса(см.

рис. 13.1).

b y M(x,y)

( x - x0 )2 + ( y - y0 )2 = a2 .

2.Гиперболой называется линия, для всех точек которой модуль разно-

сти расстояний от двух данных точек F1(с;0) и F2(– с;0), называемых фокусами,

40

есть величина постоянная, равная 2a и меньшая, чем расстояние между фоку-

зывается действительной полуосью, b – мнимой полуосью, причем b2 = c2 - a2 .

Прямоугольник со сторонами 2a и 2b называется основным прямоугольником

гиперболы (см. рис. 13.2). Точки А и В называютсявершинами гиперболы.

Можно показать, что ветви гиперболы неограниченно приближаются к прямым

рис. 13.2. показана пунктиром). Сопряженные гиперболы имеют общие асим-

птоты. Отметим, что действительная ось ее 2b расположена на оси Oy , а мни-

мая ось 2a – на оси Ох. Гипербола симметрична относительно координатных осей, точка О является ее центром симметрии и называется центром гиперболы.

Рис. 13.2. Гипербола

Если центр гиперболы находится в точке O1 (x0 , y0 ) , то ее уравнение

41

Точка О называется вершиной параболы. Уравнения y 2 = -2 px , x 2 = ±2 py также

определяют параболы. Схематично они изображены на рисунках (см. рис. 13.4).

( x - x0 )2 = ±2 p( y - y0 ) .

42

Пример

Выделяя полные квадраты, привести уравнение линии к каноническому виду и построить ее

4x2 + 8x + 9 y2 - 36 y + 4 = 0 .

Решение

Сгруппируем слагаемые, содержащие х, и аналогично поступим для y:

4( x2 + 2x ) + 9( y 2 - 4 y ) + 4 = 0 .

В скобках дополним первые два слагаемых до полного квадрата:

4(( x2 + 2x +1) -1) + 9(( y2 - 4 y + 4) - 4) + 4 = 0 4( x +1)2 - 4 ×1 + 9( y - 2)2 + 9 ×(-4) + 4 = 0 .

4(x +1)2 + 9( y - 2)2 = 36 .

Разделим обе части уравнения на 36. Получим

( x +1)2 + ( y - 2)2 = 1 . 9 4

Это уравнение определяет эллипс с центром в точке О(-1; 2) и полуосями

1

a = 3 и b = 2 . Построим эту линию (рис. 13.5).

y

4

3

O1

2 1

Рис. 13.5. Эллипс 4x2 + 8x + 9 y2 - 36 y + 4 = 0

43

Методические указания по выполнению контрольной работы

В соответствии с учебным планом студенты, обучающиеся на заочном

отделении УрГУПС, в процессе изучения курса«Линейная алгебра» должны

соответствующих тем курса. Ее цель оказать помощь студентам в изучении математики, проверить усвоение ими отдельных вопросов курса, их умение самостоятельно работать с литературой, наличие у них соответствующих

умений и навыков.

При подготовке к выполнению контрольной работы студенту необходимо

научиться работать со справочной и учебной литературой, усвоить основные

правильность полученного результата.

Для повышения эффективности самостоятельной работы студентов в ходе

студентов в соответствии с темами курса.

При оформлении контрольной работы студенту необходимо соблюдать следующие требования:

1.Заполнить титульный лист по правилам, предусмотренным в нашем вузе.

2.Каждая контрольная работа должна быть выполнена в отдельной тетради

исдана в деканат(не забудьте указать фамилию преподавателя!). Работа должна быть отправлена не позднее 2-х недель до начала сессии.

3.Работу следует оформлять в тонкой тетради, оставляя место для исправления ошибок (желательно писать на левой странице, оставляя чистой правую).

44

4.Аккуратно переписать условия задач.

5.Решение задач должно быть достаточно подробным и логически обоснованным. Полезно в ходе решения приводить формулы, формулировки теорем или другие теоретические сведения, на основании которых делается заключение.

Контрольная работа выполняется в соответствии с предлагаемыминиже

вариантами. По номеру варианта необходимо выбрать порядковый номер примера в каждом задании каждой темы контрольной работы. Например, для 1

варианта необходимо решить все первые примеры всех заданий из всех тем контрольной работы. Вариант контрольной работы студент выбирает в соответствии с присвоенным ему шифром(номеру варианта соответствует последняя цифра в зачетной книжке.)

При проверке контрольной работы учитывается понимание сути вопроса,

знание фактического материала, умение логично и ясно изложить решение задачи. По качеству выполнения работы преподаватель судит об усвоении студентом изучаемых тем, делает замечания и пожелания по процессу изучения

изученным теоретическим материалом.

Проверенная работа может быть возвращена на доработку. В этом случае студент должен провести работу над ошибками на свободном месте в этой же тетради и вновь сдать ее на проверку, указав на обложке, что она сдается повторно.

Получив зачтенную работу, студент допускается к сдаче экзамена.

45