Рассмотрим приложение алгебры матриц для решения экономической
задачи.
5. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики
Математическая модель многоотраслевой экономики была разработана в
1936 г. американским экономистом В. Леонтьевым. Модель Леонтьева рас-
сматривает соотношения баланса некоторого числа производящих отраслей.
Введем следующие обозначения: xi – общий (валовой) объем продукции i-ой отрасли (i = 1, 2, …, n); aij – коэффициент прямых затрат i-ой отрасли по обеспечению своей продукцией j-ой отрасли (т. е. aij x j – объем продукции j-ой отрасли, потребляемой i-ой отраслью), а yi – объем конечного продукта i-ой от-
расли для непроизводственного потребления. Тогда соотношения баланса при-
мут вид:
æç x1 ö÷
X = A × X + Y , где X = ç x2 ÷ ,
çç ... ÷÷ çè xn ÷ø
æ y |
ö |
|
ç 1 |
÷ |
|
ç y2 |
÷ |
, А = (aij). |
Y = ç |
÷ |
|
ç ... |
÷ |
|
ç |
÷ |
|
è yn |
ø |
|
Матрица А, составленная из коэффициентов прямых затрат aij , называ-
ется матрицей прямых затрат.
Решением представленного матричного уравнения является матрица-
столбец, определяемая следующим выражением: |
|
X = S ×Y , |
где S = (E - A)-1 – |
||||||
матрица полных затрат. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение |
баланса |
имеет решение, |
сли |
|
E - A |
|
¹ 0 . |
Экономическое |
|
|
|
||||||||
содержание величин xi , aij , |
yi определяет их границы: xi ³ 0 , |
aij ³ 0 , |
yi ³ 0 . |
||||||
Теорема. |
Если для |
матрицыА с |
неотрицательными |
элементами и |
|||||
матрицы-столбца Y с неотрицательными элементами уравнение баланса имеет решение с неотрицательными элементами, то матрица А продуктивна.
Критерий продуктивности матрицы прямых затрат А:
1) максимум сумм элементов ее столбцов не превосходит единицы;
16
2) хотя бы для одного из столбцов сумма элементов строго меньше
единицы.
Примеры
æ |
0,154 |
0,188 |
0,2ö |
|
|
ç |
0,231 |
0,375 |
|
÷ |
и вектору |
5.1. По заданной матрице прямых затратА= ç |
0,2÷ |
||||
ç |
0,154 |
0,125 |
0,3 |
÷ |
|
è |
ø |
|
|||
æ |
30 |
ö |
|
ç |
|
÷ |
(модель Леонтьева): а) проверить, является ли |
конечного продукта Y = ç |
25÷ |
||
ç |
|
÷ |
|
è15 |
ø |
|
|
матрица А продуктивной; б) найти матрицу полных затрат; в) вычислить вектор валового выпуска X.
Решение
3
а) åai1 = 0,154 + 0,231 + 0,154 = 0,539 ,
i=1
3
åai 2 = 0,188 + 0,375 + 0,125 = 0,688 ,
i=1
3
åai3 = 0,2 + 0,2 + 0,3 = 0,7 .
i=1
Все значения коэффициентов aij неотрицательны, а все суммы эле-
ментов столбцов матрицы прямых затрат А не превосходят единицы, следова-
тельно, матрица А продуктивна.
б) составим матрицу полных затрат S = (E - A)-1 .
|
æ |
1- 0,154 |
0 - 0,188 |
0 -0,2 |
ö |
æ 0,846 |
-0,188 |
-0,2ö |
|
||
(E - A) |
ç |
0 - 0,231 |
1- 0,375 |
0 -0,2 |
÷ |
ç |
|
0,625 |
|
÷ |
, |
= ç |
÷ = ç- 0,231 |
-0,2÷ |
|||||||||
|
ç |
0 - 0,154 |
0 - 0,125 |
1- 0,3 |
÷ |
ç |
- 0,154 |
-0,125 |
0,7 |
÷ |
|
|
è |
ø |
è |
ø |
|
||||||
определитель
E- A = 0,846 ×0,625×0,7 + (-0,231) ×(-0,125) ×(-0,2) + (-0,188) ×(-0,2) ×(-0,154) -
-[(-0,154) × 0,625 × (-0,2) + (-0,231) × (-0,188) × (0,7) + (-0,125) ×(-0,2) ×(0,846) ] =
17
= 0,370125 |
– 0,005775 |
– 0,0057904 – 0,01925 – |
0,0303996 – |
0,02115 = |
|||||||||||||||||||||||||||||||
0,28776 » 0,288 ¹ 0, значит, существует матрица полных затратS; для нахожде- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
ния (E - A)-1 необходимо найти алгебраические дополнения матрицы (E - A): |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0,625 |
- 0,2 |
|
= 0,4125; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
(Е – А)11 = (-1)1+1 × |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
- 0,125 |
0,7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
(Е – А)12 = (-1)1+2 × |
|
- 0,231 |
- 0,2 |
|
= 0,1925; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- 0,154 |
0,7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
- 0,231 |
0,625 |
|
|
|
|
|
= 0,125125; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
(Е – А)13 = (-1)1+3 × |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- 0,154 |
- 0,125 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
(Е – А)21 = (-1)2+1 × |
|
|
|
|
- 0,188 |
- 0,2 |
|
|
= 0,1566; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
- 0,125 |
0,7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
0,846 |
- 0,2 |
|
= 0,5614; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
(Е – А)22 = (-1)2+2 × |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
- 0,154 |
0,7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
(Е – А)23 = (-1)2+3 × |
|
|
|
|
|
|
|
|
0,846 |
- 0188 |
|
|
|
= 0,134702; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
- 0,154 |
- 0,125 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
(Е – А)31 = (-1)3+1 × |
|
|
- 0,188 |
- 0,2 |
|
= 0,1626; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0,625 |
- 0,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
0,846 |
- 0,2 |
|
= 0,2154; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
(Е – А)32= (-1)3+2 × |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
- 0,231 |
- 0,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
(Е – А)33 = (-1)3+3 × |
|
|
|
|
|
|
|
|
0,846 |
- 0,188 |
|
= 0,485322. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
- 0,231 |
0,625 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
0,4125 |
0,1566 |
0,1626 |
ö |
æ1,433 |
0,544 |
0,565ö |
|
|||||||||||||||||
S = (E - A)-1 = |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
ç |
|
÷ |
|
|
× |
ç |
0,1925 |
0,5614 |
0,2154 |
÷ |
= ç0,669 |
1,951 |
0,749÷. |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0,288 |
|
|
|
|
|
ç |
0,125125 |
0,134702, |
0,485322 |
÷ |
ç |
0,468 |
÷ |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
ø |
è0,435 |
1,687 ø |
|
|||||||||||||||||||||
Проверим, правильно ли найдена обратная матрица. Для этого |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
необходимо |
умножить |
матрицы(Е – А) и |
|
(E - A)-1 и получить |
единичную |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
æ1 |
0 |
|
0 ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
ç |
1 |
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
матрицу E = ç0 |
|
0 ÷ : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
ç |
0 |
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
è0 |
|
1 ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
18
æ 0,846 |
- 0,188 |
- 0,2 |
ö |
æ |
1,433 |
0,544 |
0,565 |
ö |
æ1 |
0 |
0 |
ö |
||
ç |
|
0,625 |
- 0,2 |
÷ |
ç |
0,669 |
1,951 |
0,749 |
÷ |
ç |
|
1 |
0 |
÷ |
ç- 0,231 |
÷ × ç |
÷ = ç0 |
÷ . Итак, матрица полных |
|||||||||||
ç |
- 0,154 |
- 0,125 |
0,7 |
÷ |
ç |
0,435 |
0,468 |
1,687 |
÷ |
ç |
0 |
0 |
1 |
÷ |
è |
ø |
è |
ø |
è |
ø |
|||||||||
|
æ |
1,433 |
0,544 |
0,565 |
ö |
затрат S = (E - A)-1 |
ç |
0,669 |
1,951 |
0,749 |
÷ |
= ç |
÷. |
||||
|
ç |
0,435 |
0,468 |
1,687 |
÷ |
|
è |
ø |
в) чтобы вычислить вектор валового выпуска X, выполним умножение матрицы полных затрат S на матрицу-столбец Y:
æ |
1,433 |
0,544 |
0,565 |
ö æ30 |
ö |
æ |
65 |
ö |
|
ç |
0,669 |
1,951 |
0,749 |
÷ ç |
|
÷ |
ç |
80 |
÷ |
Х= S ×Y = ç |
÷.ç25÷ = ç |
÷. |
|||||||
ç |
0,435 |
0,468 |
1,687 |
÷ ç |
15 |
÷ |
ç |
50 |
÷ |
è |
ø è |
ø |
è |
ø |
|||||
6. Векторы и действия над ними
Величины бывают скалярными (задаются только численным значением),
и векторными (от латинского vector – несущий), определяемыми величиной и направлением, что и позволяет изображать их с помощью стрелки. Понятие
«вектор» впервые появляется в1845 г. в трудах ирландского математика У. Гамильтона, посвященных теории кватернионов, которая рассматривается как один из источников развития векторного исчисления.
Вектором a называется направленный отрезок прямой, имеющий
определенную длину. Если точка А – начало вектора a , а точка В – его конец,
то вектор a может обозначаться a = AB .
Положение произвольной точки М в прямоугольной системе координат
Oxy задается двумя числами (х; у), а в прямоугольной системе координат Oxyz –
тремя числами (х; у; z). Величины x, y и z являются проекциями точки М на оси
Ox, Oy, Oz соответственно и называются координатами точки.
Координаты начала вектора AB задаются величинами А(х0; у0) или А(х0;
у0; z0), а координаты его конца – величинами В(х1;у1) или В(х1; у1; z1) .
19
Если известны координаты начала вектораА(х0; у0; z0) и координаты его конца В(х1; у1; z1), то для того чтобы найти координаты вектора AB , необходимо из координат конца вычесть координаты начала, т. е
AB ={x1–x0, y1–y0, z1–z0}.
Длиной или модулем вектораAB называется число, равное длине
отрезка АВ и определяемое по формулам:
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
= |
AB |
= |
|
|
(x |
- x )2 |
+ ( y - y |
)2 , |
|
|
|
|
(6.1) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
à |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
= |
AB |
= |
|
(x - x )2 + ( y - y |
|
)2 + (z |
- z |
|
2 |
|
(6.2) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
à |
|
|
|
0 |
0 |
) . |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||
Формула (1.1) применяется |
для |
вычисления |
модуля |
вектора, если |
a |
||||||||||||||||||||
задан на плоскости, формула (1.2) – если a задан в трехмерном пространстве.
Рассматривают также вектор, у которого начало и конец совпадают. Его
называют нуль-вектором и |
обозначают 0 . |
Нуль-вектор |
не |
имеет |
||||||
определенного направления, |
его модуль равен нулю. |
|
|
|
||||||
Ортами |
координатных |
осей |
называются |
единичные(длина |
равна |
|||||
|
r |
r |
r |
|
|
|
|
|
|
|
единице) векторы i |
, j , |
k |
направленные соответственно вдоль координатных |
|||||||
осей Ox, Oy, Oz в прямоугольной системе координат Oxyz (рис. 1). |
|
|
||||||||
|
|
|
r |
r |
r |
можно записать следующим образом |
|
|
||
Координаты ортов i |
, j , k |
|
|
|||||||
|
|
|
|
r |
|
r |
r |
|
|
|
|
|
|
|
i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1). |
|
|
||||
Разложение вектора a = AB по ортам координатных осей проводится по |
||||||||||
r |
r |
r |
|
r |
|
|
|
|
|
|
формуле a = ax i + ay |
j + az k . |
|
|
|
|
|
|
|||
20
Рис. 1. Орты в прямоугольной системе координат Oxyz
Таким образом, вектор a может быть задан не только своими
|
|
|
|
r |
r |
r |
r |
координатами a = {ax ; ay ; az }, но и разложением по ортам a |
= ax i + ay j + az k |
||||||
Если известны координаты векторы a , то его длину или модуль можно |
|||||||
найти по формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
= ax2 + ay2 + az2 . |
|
|
(6.3) |
|||
|
a |
|
|
||||
Линейными операциями над векторами выступают следующие действия:
1) |
сложение векторов a = {ax ; ay ; az } и b = {bx ;by ;bz }: |
||
|
r |
r |
}; |
|
a |
+ b = {ax + bx ;ay + by ;az + bz |
|
2) |
вычитание векторов a = {ax ; ay ; az } и b = {bx ;by ;bz }: |
||
|
r |
r |
}; |
|
a |
- b = {ax - bx ;ay - by ;az - bz |
|
|
|
|
|
|
r |
= {kax ; ka y ; kaz }. |
3) умножение вектора a = {ax ; ay ; az } на число k: ka |
||||||
Свойства линейных операций: |
|
|||||
r |
r |
r |
r |
|
|
|
1) a |
+ b = b + a ; |
|
|
|
||
r |
r |
r |
r |
r |
r |
|
2) (a |
+ b )+ c |
= a |
+ (b + c ); |
|
||
21
3) k1 × (k |
r |
r |
|
|
|
2 × a)= k1 × k2 × a ; |
|
|
|||
4) (q1 + q2 ) |
r |
r |
r |
|
|
× a = q1 |
× a + q2 |
× a ; |
|
||
r |
r |
r |
r |
|
|
5) q × (a |
+ b )= q × a |
+ q × b . |
|
|
|
Векторы a и b , расположенные на одной прямой или на параллельных |
|||||
прямых, называются |
коллинеарными. Коллинеарность |
векторов a и |
|||
b обозначается a ║ b . |
|
|
|
||
Критерий |
коллинеарности: Векторы a = {ax ; ay ; az } |
и b = {bx ;by ;bz } |
|||
коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны, т. е.
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
x |
= |
a y |
|
= |
a |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
by |
|
bz . |
|
(6.4) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
a ║ b Û bx |
|
|
|
|
||||||||
Два вектора a и b называются равными, если они имеют равные |
|
||||||||||||||||||
модули, коллинеарны, направлены в одну сторону и имеют равные |
|
||||||||||||||||||
соответствующие координаты ax = bx , ay = by , |
az |
= bz . |
|
|
|||||||||||||||
Примеры |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
6.1. Найти |
периметр |
треугольникаMNK, |
|
вершины |
которого |
имеют |
|||||||||||||
координаты M(3; –1; 2), N(1; 3; 1), K(4; 1; –2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Периметр, или сумму длин всех |
|
сторон можно вычислить, если |
||||||||||||||||
длины сторон рассматривать как модули векторов |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|||||||
PMNK = |
MN |
+ |
NK |
+ |
KM |
= |
(1- 3)2 + 3( - (-1))2 + 1(- 2)2 |
|
|
|
|
|
|||||||
+
(4 -1)2 + 1(- 3)2 + -( 2 -1)2 + 
(3 - 4)2 + -( 1-1)2 + 2( - (-2))2 » 14 ед.
6.2.Найти разложение вектора AB , имеющего координаты точек начала А(2; 1; 4) и конца В(–3; 5; 1), по ортам координатных осей.
22