угловой |
коэффициент |
|
|
|
k |
= k = |
3 |
, и ее уравнение, |
|
|
|
|
|
||||||
параллельной прямой1 |
|
2 |
|||||||
согласно |
формуле (10.3) |
имеет вид |
y -1 = |
3 |
( x - 2) |
или 3x - 2 y - 4 = 0 . По |
|||
|
|||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
критерию перпендикулярности (10.9) угловой коэффициент перпендикулярной
прямой равен |
k2 |
= - |
1 |
= - |
2 |
, |
уравнение этой прямой, согласно формуле (10.3) |
|||
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
k |
3 |
|
|
||
y -1 = - |
2 |
(x - 2) или 2x + 3y - 7 = 0 . |
||||||||
|
||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10.2. Найти |
расстояние |
|
|
между параллельными прямыми3x + 4 y - 24 = 0 и |
||||||
3x + 4 y + 6 = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Возьмем |
на |
одной |
из |
прямых, например 3x + 4 y - 24 = 0 , произвольную |
||||||
точку A (0; 6) . Тогда искомое расстояние от точки А до прямой 3x + 4 y + 6 = 0
равно d = |
|
|
3× 0 + 4 × 6 |
+ 6 |
|
|
= |
30 |
= 6 . |
||
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||||
32 + 4 |
2 |
|
5 |
|
|||||||
11. Уравнение плоскости в пространстве
Рассмотрим различные виды уравнений плоскости.
Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно
данному вектору.
Плоскость |
a |
в пространстве |
М |
(x |
0 |
, y |
0 |
, z |
0 |
) |
и |
вектором |
|
задается точкой 0 |
|
|
|
|
|||||||
n = {A,B,C}, |
перпендикулярным |
плоскости (такой |
|
|
вектор |
|
называется |
|||||
нормальным вектором плоскости) (рис. 11.1).
Рис. 11.1. Задание плоскости
33
Зная координаты нормального вектора и координаты точки, можноМ
0
составить каноническое уравнение плоскости
А(x - x0 ) + B( y - y0 ) + C(z - z0 ) = 0 . |
(11.1) |
В декартовых прямоугольных координатах всякое уравнение первой степени
относительно координат точки пространства задает плоскость.
Уравнение вида
Ax + By + Cz + D = 0 |
(11.2) |
называется общим уравнением плоскости.
Уравнение
|
x |
+ |
y |
+ |
z |
= 1 |
(11.3) |
|
a |
b |
|
||||
|
|
|
c |
|
|||
называется уравнением плоскости в |
отрезках. |
Здесь a – величина отрезка, |
|||||
отсекаемого плоскостью на оси Оx, |
b – на оси Oy, |
с – на оси Oz (рис. 11.2). |
|||||
Рис. 11.2 Пересечение плоскости
|
с координатными осями |
|
|||
Если |
известны три |
точки |
плоскости, не |
лежащие на |
одной прямой: |
М 1 (x1 , y1 , z1 ) , M 2 (x2 , y2 , z2 ) , |
M 3 (x3 , y3 , z3 ) , то |
из условия |
компланарности |
||
векторов |
М1М , М1М 2 , М1М 3 , где |
М (x, y, z) – |
текущая точка |
плоскостиa , |
|
можно получить уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки:
34
|
x - x1 |
y - y1 |
z - z1 |
|
|
x2 - x1 |
y2 - y1 |
z2 - z1 |
= 0 . |
|
x3 - x1 |
y3 - y1 |
z3 - z1 |
|
Расстояние от точкиM 0 (x0 , y0 , z0 ) |
до плоскостиa , заданной |
|||
уравнением, вычисляется по формуле
(11.4)
общим
|
d = |
|
Ax0 + By0 + Cz0 + D |
. |
(11.5) |
|||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
A2 + B 2 + C 2 |
|
|||
Рассмотрим взаимное расположение двух плоскостейa и b , заданных |
||||||||
соответственно |
уравнениями: |
|
|
a : А1x + B1 y + C1z + D1 = 0 , |
||||
b: A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
Критерий параллельности. Плоскости a и |
b параллельны тогда |
и только |
||||||
тогда, когда соответствующие нормальные векторы коллинеарны. |
|
|||||||
|
a || b Û na || nb . |
|
|
|
(11.6) |
|||
(критерий коллинеарности векторов см.(6.4)) |
|
|
|
|
||||
Угол между плоскостями. Под углом между плоскостями a и b понимают один из двугранных углов, образованных этими плоскостями. (рис. 11.3).
Рис. 11.3. Угол между плоскостями
35
Угол j между нормальными векторами |
na = {A1; B1;C1} и nb = {A2 ; B2 ;C2 } |
||||||||||||||||||
плоскостей a и b равен одному из этих углов. Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
na × nb |
|
|
|
|
A × A + B × B + C × C |
2 |
|
|
|
|
||||||||
cos j = |
|
|
|
|
= |
|
|
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
|
|
|
. |
(11.7) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
na |
× |
nb |
|
A 2 |
+ B 2 |
+ C |
2 |
× A 2 |
+ B |
2 + C |
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
2 |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|||||
Критерий перпендикулярности. Плоскости a и b перпендикулярны тогда и
только тогда, когда соответствующие нормальные векторы перпендикулярны.
a ^ b Û na ^ nb Û na × nb = 0 . |
(11.8) |
Пример
11.1 В системе O x y z даны точки M1 (–1; 0;–7), M 2 ( –5;1;–4), M 3 (– 10; 3; 0), M 4 (5; 2; –1). Найти:
1)уравнение плоскости a , проходящей через точки M1 , M 2 , M 3 ;
2)расстояние от начала координат до плоскости a .
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1. Уравнение плоскости, проходящей |
через три точки M1 , M 2 , M 3 , будет |
||||||||||||||||||||||||
иметь вид |
|
x +1 |
y - 0 z + 7 |
|
|
= 0 или |
|
x + 1 y z + 7 |
|
= 0 . |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
- 5 +1 |
1 - 0 |
- 4 + 7 |
|
- 4 |
|
1 |
3 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
-10 +1 3 - 0 0 + 7 |
|
|
|
|
|
|
|
- 9 |
|
3 |
7 |
|
|
|
|||||||||
Раскрывая |
|
этот |
|
|
определитель |
по |
|
|
элементам |
первой , получимстроки |
|||||||||||||||
|
|
(x +1) × |
|
1 3 |
|
- y × |
|
- 4 |
3 |
|
+ (z + 7) |
× |
|
- 4 |
1 |
|
= 0 ; |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
7 |
|
|
|
- 9 |
7 |
|
|
|
|
|
|
- 9 |
3 |
|
|
|
|
|
|
или – 2(x + 1) + y – 3(z + 7) = 0; 2x – y + 3z + 23 = 0.
Таким образом, уравнение плоскости a будет иметь вид
2 x – y + 3 z + 23 = 0.
2. Расстояние от точки О (0, 0, 0) – начала координат до этой плоскости найдем по формуле (11.5).
36