Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра «Высшая и прикладная математика»
И. Н. Пирогова Е. Г. Филиппова
Линейная алгебра
Екатеринбург Издательство УрГУПС
2012
Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра «Высшая и прикладная математика»
И. Н. Пирогова Е. Г. Филиппова
Линейная алгебра
Учебно-методическое пособие к изучению темы «Линейная алгебра» по дисциплине «Математика» для студентов
специальности 080100 – «Экономика» заочной формы обучения
Екатеринбург Издательство УрГУПС
2012
УДК517
П33
Пирогова, И. Н.
П33 Линейная алгебра : учеб.-метод. пособие / И. Н. Пирогова, Е. Г. Филиппова. – Екатеринбург: Изд-во УрГУПС, 2012. – 55, [1] с.
Учебно-методическое пособие подготовлено в соответствии с требованиями ФГОС к обязательному минимуму содержания и уровню подготовки дипломированных бакалавров по циклу «Общие математические и естественнонаучные дисциплины» государственных образовательных стандартов высшего профессионального образования.
Предназначено для проведения лекционных, практических занятий и организации
самостоятельной работы студентов. |
|
|
|
|
|
Предлагаемая система дидактических материалов составлена на |
основе обобщения |
||||
учебной литературы, рекомендуемой Министерством образования РФ, и |
многолетнего |
||||
педагогического опыта профессорско-преподавательского коллектива кафедры«Высшая и |
|||||
прикладная математика» УрГУПС. |
|
|
|
|
|
Соответствуют |
структуре |
изучения |
темы«Линейная |
алгебра» по |
дисциплине |
«Математика» специальности 080100 – «Экономика».
УДК517
Печатается по решению редакционно-издательского совета университета
Авторы: И. Н. Пирогова, ст. преподаватель кафедры «Высшая и прикладная математика», УрГУПС
Е. Г. Филиппова, ст. преподаватель кафедры «Высшая и прикладная математика», УрГУПС
Рецензент: Т. В.Завьялова, доцент кафедры «Высшая и прикладная математика», канд. физ.-мат. наук, УрГУПС
©Уральский государственный университет путей сообщения (УрГУПС), 2012
|
Оглавление |
|
ВВЕДЕНИЕ .............................................................................................................. |
4 |
|
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЕ СТУДЕНТОВ.... |
5 |
|
КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ, МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И |
|
|
КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ...................................................................................................... |
6 |
|
1. |
Матрицы и операции над ними ..................................................................... |
6 |
2. |
Определители.................................................................................................... |
9 |
3. |
Решение системы линейных уравнений по формулам Крамера .......... |
10 |
4. |
Обратная матрица.......................................................................................... |
14 |
5. |
Модель Леонтьева многоотраслевой экономики ...................................... |
16 |
6. |
Векторы и действия над ними...................................................................... |
19 |
7. |
Скалярное произведение векторов.............................................................. |
23 |
8. |
Векторное произведение векторов .............................................................. |
26 |
9. |
Смешанное произведение векторов ............................................................ |
28 |
10. Уравнение прямой на плоскости ............................................................... |
30 |
|
11. Уравнение плоскости в пространстве...................................................... |
33 |
|
12. Уравнение прямой в пространстве........................................................... |
37 |
|
13. Кривые второго порядка............................................................................. |
39 |
|
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ...... |
44 |
|
ВАРИАНТЫ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 1. «АЛГЕБРА МАТРИЦ»............................. |
46 |
|
ВАРИАНТЫ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 2. «ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ |
|
|
ГЕОМЕТРИИ» ............................................................................................................................ |
49 |
|
МЕТОДИЧЕСКИЕ СОВЕТЫ ПО ПОДГОТОВКЕ К СДАЧЕ ЭКЗАМЕНА ...................... |
51 |
|
Примерные вопросы к экзамену ............................................................................ |
54 |
|
Библиографический список.................................................................................... |
55 |
|
3
Введение
Учебный |
курс «Линейная |
алгебра» |
предназначен |
для |
студентов, |
|||
обучающихся |
по |
направлению |
подготовки(специальности) |
080100 |
– |
|||
«Экономика». |
|
|
|
|
|
|
|
|
Математическое образование современного специалиста, имеющего |
||||||||
квалификацию |
«экономист», включает |
в |
себя изучение |
курса |
линейной |
|||
алгебры, который |
выступает |
фундаментом математического |
образования. |
|||||
Содержание данного курса ориентировано на применение математических методов к решению прикладных задач. В основу курса положены классические и современные математические теории и современная практика, авторские разработки коллектива кафедры «Высшая математика» УрГУПС.
ТРЕБОВАНИЯ К РЕЗУЛЬТАТАМ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
(в соответствие с ФГОС подготовки бакалавра и ООП)
В результате изучения дисциплины студент должен:
1. Знать виды и свойства матриц, системы линейных уравнений, линейное пространство; векторы и линейные операции над ними; виды геометрического описания линейных и квадратичных зависимостей; основные линейные модели экономики.
2. Уметь использовать аппарат линейной алгебры; решать системы линейных уравнений; использовать методы векторной алгебры и аналитической геометрии.
3. Владеть навыками решения задач линейной и векторной алгебры; навыками использования аналитической геометрии; навыком составления и анализа линейной модели обмена, модели Леонтьева.
4
Методические указания
по самостоятельной работе студентов
Самостоятельная работа студентов является одной из важней
составляющих учебного процесса, в ходе которого происходит формирование знаний, умений и навыков и в дальнейшем обеспечивается усвоение студентом приемов познавательной деятельности и формирование способности решать
профессиональные и научные задачи. |
|
|
|
||
При изучении математики в вузе основной самостоятельной |
работой |
||||
студентов является решение задач по изучаемому теоретическому материалу, |
|||||
выработка необходимых знаний и умений. |
|
|
|
||
В |
данном разделе |
в соответствии с учебной программой |
содержат |
||
краткие теоретические сведения и примеры решения задач по основным темам |
|||||
курса. Самостоятельная |
работа над предложенным учебным материалом |
||||
поможет |
студентам |
выполнить |
необходимые |
контрольные |
работы |
подготовиться к сдаче итогового экзамена.
5
Краткие теоретические сведения, методические указания
иконтрольные задания
1.Матрицы и операции над ними
Матрицей размера m ´ n A |
|
называется прямоугольная таблица |
чисел, |
||||||||||
|
|
m´n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æa |
a |
... a |
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
11 |
12 |
1n |
÷ |
|
|
|
|
|
|
состоящая из m строк и n столбцов |
ça21 |
a22 ... a2n |
÷ . |
|
|
|
|
|
|
||||
ç |
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
ç................... |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
ç |
|
am2 ... amn |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
èam1 |
ø |
|
|
|
|
|
|
|||
Квадратной |
матрицей n-порядка |
называется |
матрица, имеющая |
||||||||||
одинаковое количество |
строк |
и |
столбцов(m = n). |
Например, |
квадратные |
||||||||
матрицы 2-го и 3-го |
порядка |
|
соответственно |
имеют : |
æ a11 |
a12 |
ö |
и |
|||||
|
видç |
|
÷ |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
a22 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
èa21 |
ø |
|
|
æ |
à |
11 |
à |
12 |
ç |
|
|
||
ça21 |
a22 |
|||
ç |
|
|
a32 |
|
èa |
31 |
|||
a |
ö |
13 |
÷ |
a23 |
÷ . |
a33 |
÷ |
ø |
Числа, составляющие матрицу, называются ее элементами. Элементы,
стоящие на одной горизонтали, образуют строку, а на одной вертикали–
столбец.
Матрица, содержащая одну строку, называется вектором-строкой, а
матрица, содержащая один столбец, – вектором-столбцом.
Элементы матрицы aij , у которых i = j , называют диагональными, они образуют главную диагональ. Например, элементы a11 , a22 , a33 образуют
главную диагональ квадратной матрицы3-го порядка, а элементы a31 , a22 , a13
называют элементами побочной диагонали.
|
|
|
|
|
|
|
|
æ1 |
0ö |
|
|
æ1 |
0 |
0ö |
|
||||
Виды матриц Единичные матрицы |
, |
E = |
ç |
0 |
1 |
0 |
÷ |
. Диагональные |
|||||||||||
E = ç |
|
|
÷ |
ç |
÷ |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
0 |
1 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
ø |
|
|
ç |
0 |
0 |
1 |
÷ |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
ø |
|
|||
æa |
0 ö |
æa |
0 |
0 |
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ç |
11 |
a22 |
0 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
матрицы ç |
11 |
÷ |
, ç |
0 |
÷ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ç |
0 |
÷ |
ç |
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
a22 ø |
0 |
0 |
a33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
è |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
6
|
|
æa |
a |
ö |
|
æ a |
0 ö |
|
æa |
a |
|||
Верхние |
, |
, |
ç |
11 |
12 |
||||||||
ç |
11 |
12 |
÷ |
ç 11 |
|
÷ |
ç 0 |
a22 |
|||||
и нижниетреугольные матрицы ç |
0 a22 |
÷ |
ç |
|
÷ |
||||||||
|
|
è |
ø |
|
èa21 |
a |
22 ø |
|
ç |
0 |
0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
||
æ a |
0 |
0 ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç 11 |
a22 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ça21 |
0 ÷ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
a32 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
èa31 |
a33 ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a13 ö÷ a23 ÷ , a33 ÷ø
Ступенчатые матрицы |
æa |
a |
|
a |
a |
|
ö |
|||
ç |
11 |
12 |
|
|
13 |
14 |
÷ . |
|||
|
|
ç |
0 |
a22 |
|
a23 |
a24 |
÷ |
||
|
|
è |
|
ø |
||||||
|
æ0 |
|
0ö |
|
æ0 |
0 |
0 |
ö |
|
|
Нулевые матрицы |
|
, 0 = |
ç |
|
0 |
0 |
÷ |
|
||
0 = ç |
|
÷ |
ç0 |
÷. |
||||||
|
ç |
|
÷ |
|
ç |
|
|
|
÷ |
|
|
è0 |
|
0ø |
|
0 |
0 |
0 |
|
||
|
|
|
|
|
è |
ø |
|
|||
|
Транспонирование матрицы |
A – это переход к матрице A T , в которой |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
m´n |
n´m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ a |
a |
ö |
|
строки |
и |
|
столбцы меняются |
местами. Например, если |
ç 11 |
12 |
÷ |
, то |
|||
|
A = ça21 |
a22 |
÷ |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
a32 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
èa31 |
ø |
|
|
AT |
æ a |
a |
|
a |
|
ö |
|
|
|
|
|
= ç 11 |
a |
21 |
a |
31 |
÷ . |
|
|
|
|
|
|
|
ça |
22 |
32 |
÷ |
|
|
|
|
|
||
|
è 12 |
|
|
ø |
|
|
|
|
|
||
Две матрицы A = (aij ) |
и |
B = (bij ) |
называются равными, если равны все |
||||
m´n |
|
m´n |
|
|
|
|
|
их соответствующие элементы, т. е. |
aij = bij . |
|
|
|
|||
Произведением матрицы |
A |
на число l |
называется матрица B = l A , |
||||
|
|
m´n |
|
|
|
|
m´n m´n |
элементы которой равны bij |
= laij . |
|
|
|
|
|
|
Суммой двух матриц |
A и B называется матрица C , элементы которой |
||||||
|
m´n |
m´n |
|
|
|
|
m´n |
вычисляются по формуле сij |
= aij |
+ bij . |
|
|
|
|
|
Произведением двух |
матрицA |
|
и |
B |
называется матрица C , |
||
|
|
|
m´k |
|
k´n |
m´n |
|
|
|
|
|
|
|
||
каждый элемент которой cij равен сумме произведений элементовi -ой строки матрицы А на соответствующие элементыj-го столбца матрицы В. Операция умножения двух матриц возможна при условии, что количество столбцов
7
первой |
матрицы |
|
равно количеству строк второй матрицы. Произведение |
|||||||||||
матриц некоммутативное, следовательно, A × B ¹ B × A . |
|
|
||||||||||||
Возведение |
в |
степеньm квадратной |
|
матрицы n-го |
порядка – это |
|||||||||
умножение матрицы самой на себя m раз. Например, A2 |
= A × A , |
A3 = A × A × A . |
||||||||||||
Примеры |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 3ö |
æ7 |
3ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|||
1.1. Найти А + В, 2А - В, АВ, ВА для матриц A = ç |
÷ и B = ç |
÷ . |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
èç |
7 5ø÷ |
èç2 1ø÷ |
|
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
æ |
4 + 7 3 + 3ö |
æ11 6ö |
|
|
|
|
|
|
||||||
А + В = ç |
|
|
|
|
÷ |
= ç |
|
÷. |
|
|
|
|
|
|
èç |
7 + 2 5 +1ø÷ |
èç |
9 6ø÷ |
|
|
|
|
|
|
|||||
æ |
2 × 4 2 ×3ö |
- |
æ7 3ö |
æ 8 - 7 6 - 3 ö |
æ |
1 3ö |
|
|
||||||
2А – В = ç |
|
|
|
÷ |
ç |
÷ = |
ç |
÷ = ç |
|
÷. |
|
|
||
èç |
2 ×7 2 ×5ø÷ |
|
èç2 1ø÷ |
èç14 - 2 10 -1ø÷ |
èç12 9ø÷ |
|
|
|||||||
æ4 3ö |
´ |
æ |
7 3ö |
æ |
4 ×7 + |
3×2 4 ×3 + |
3×1ö |
æ34 15 ö |
|
|
||||
АВ = ç |
÷ |
ç |
|
÷ |
= ç |
|
|
÷ |
= ç |
|
÷. |
|
|
|
èç7 5ø÷ |
|
èç |
2 1ø÷ |
èç |
7 ×7 + 5×2 7 ×3 + 5 ×1ø÷ |
èç59 26ø÷ |
|
|
||||||
æ7 3ö |
´ |
æ |
4 3ö |
æ |
7 × 4 + |
3×7 7 ×3 + |
3×5ö |
æ |
49 36ö |
|
|
|||
ВА = ç |
÷ |
ç |
|
÷ |
= ç |
|
|
÷ |
= ç |
|
÷. |
|
|
|
èç2 1ø÷ |
|
èç |
7 5ø÷ |
èç |
2 ×4 +1×7 2 ×3 +1×5 ø÷ |
èç |
15 11ø÷ |
|
|
|||||
1.2. Предприятие производит продукцию трех видов и использует сырье двух
типов. Нормы |
|
затрат |
сырья на |
единицу |
продукции |
каждого |
вида |
заданы |
||
матрицей |
|
æ2 1 3ö |
Стоимость |
единицы |
сырья |
каждого |
типа |
задана |
||
A = |
ç |
|
÷ . |
|||||||
|
ç |
3 4 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è1 |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
матрицей B = (10 15). Каковы общие затраты предприятия на производство 100
единиц продукции первого вида, 200 единиц продукции второго вида и150
единиц продукции третьего типа?
æ100 ö
Указание: пусть матрица C = çç200÷÷ . Используйте следующие формулы: затраты
çè150 ÷ø
сырья S = АС, общая стоимость сырья Q = BS.
8