Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
лин алгебра_методичка.pdf
Скачиваний:
9
Добавлен:
17.05.2015
Размер:
413 Кб
Скачать

Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра «Высшая и прикладная математика»

И. Н. Пирогова Е. Г. Филиппова

Линейная алгебра

Екатеринбург Издательство УрГУПС

2012

Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра «Высшая и прикладная математика»

И. Н. Пирогова Е. Г. Филиппова

Линейная алгебра

Учебно-методическое пособие к изучению темы «Линейная алгебра» по дисциплине «Математика» для студентов

специальности 080100 – «Экономика» заочной формы обучения

Екатеринбург Издательство УрГУПС

2012

УДК517

П33

Пирогова, И. Н.

П33 Линейная алгебра : учеб.-метод. пособие / И. Н. Пирогова, Е. Г. Филиппова. – Екатеринбург: Изд-во УрГУПС, 2012. – 55, [1] с.

Учебно-методическое пособие подготовлено в соответствии с требованиями ФГОС к обязательному минимуму содержания и уровню подготовки дипломированных бакалавров по циклу «Общие математические и естественнонаучные дисциплины» государственных образовательных стандартов высшего профессионального образования.

Предназначено для проведения лекционных, практических занятий и организации

самостоятельной работы студентов.

 

 

 

 

Предлагаемая система дидактических материалов составлена на

основе обобщения

учебной литературы, рекомендуемой Министерством образования РФ, и

многолетнего

педагогического опыта профессорско-преподавательского коллектива кафедры«Высшая и

прикладная математика» УрГУПС.

 

 

 

 

Соответствуют

структуре

изучения

темы«Линейная

алгебра» по

дисциплине

«Математика» специальности 080100 – «Экономика».

УДК517

Печатается по решению редакционно-издательского совета университета

Авторы: И. Н. Пирогова, ст. преподаватель кафедры «Высшая и прикладная математика», УрГУПС

Е. Г. Филиппова, ст. преподаватель кафедры «Высшая и прикладная математика», УрГУПС

Рецензент: Т. В.Завьялова, доцент кафедры «Высшая и прикладная математика», канд. физ.-мат. наук, УрГУПС

©Уральский государственный университет путей сообщения (УрГУПС), 2012

 

Оглавление

 

ВВЕДЕНИЕ ..............................................................................................................

4

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЕ СТУДЕНТОВ....

5

КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ, МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И

 

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ......................................................................................................

6

1.

Матрицы и операции над ними .....................................................................

6

2.

Определители....................................................................................................

9

3.

Решение системы линейных уравнений по формулам Крамера ..........

10

4.

Обратная матрица..........................................................................................

14

5.

Модель Леонтьева многоотраслевой экономики ......................................

16

6.

Векторы и действия над ними......................................................................

19

7.

Скалярное произведение векторов..............................................................

23

8.

Векторное произведение векторов ..............................................................

26

9.

Смешанное произведение векторов ............................................................

28

10. Уравнение прямой на плоскости ...............................................................

30

11. Уравнение плоскости в пространстве......................................................

33

12. Уравнение прямой в пространстве...........................................................

37

13. Кривые второго порядка.............................................................................

39

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ......

44

ВАРИАНТЫ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 1. «АЛГЕБРА МАТРИЦ».............................

46

ВАРИАНТЫ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 2. «ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ

 

ГЕОМЕТРИИ» ............................................................................................................................

49

МЕТОДИЧЕСКИЕ СОВЕТЫ ПО ПОДГОТОВКЕ К СДАЧЕ ЭКЗАМЕНА ......................

51

Примерные вопросы к экзамену ............................................................................

54

Библиографический список....................................................................................

55

3

Введение

Учебный

курс «Линейная

алгебра»

предназначен

для

студентов,

обучающихся

по

направлению

подготовки(специальности)

080100

«Экономика».

 

 

 

 

 

 

 

 

Математическое образование современного специалиста, имеющего

квалификацию

«экономист», включает

в

себя изучение

курса

линейной

алгебры, который

выступает

фундаментом математического

образования.

Содержание данного курса ориентировано на применение математических методов к решению прикладных задач. В основу курса положены классические и современные математические теории и современная практика, авторские разработки коллектива кафедры «Высшая математика» УрГУПС.

ТРЕБОВАНИЯ К РЕЗУЛЬТАТАМ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ

(в соответствие с ФГОС подготовки бакалавра и ООП)

В результате изучения дисциплины студент должен:

1. Знать виды и свойства матриц, системы линейных уравнений, линейное пространство; векторы и линейные операции над ними; виды геометрического описания линейных и квадратичных зависимостей; основные линейные модели экономики.

2. Уметь использовать аппарат линейной алгебры; решать системы линейных уравнений; использовать методы векторной алгебры и аналитической геометрии.

3. Владеть навыками решения задач линейной и векторной алгебры; навыками использования аналитической геометрии; навыком составления и анализа линейной модели обмена, модели Леонтьева.

4

Методические указания

по самостоятельной работе студентов

Самостоятельная работа студентов является одной из важней

составляющих учебного процесса, в ходе которого происходит формирование знаний, умений и навыков и в дальнейшем обеспечивается усвоение студентом приемов познавательной деятельности и формирование способности решать

профессиональные и научные задачи.

 

 

 

При изучении математики в вузе основной самостоятельной

работой

студентов является решение задач по изучаемому теоретическому материалу,

выработка необходимых знаний и умений.

 

 

 

В

данном разделе

в соответствии с учебной программой

содержат

краткие теоретические сведения и примеры решения задач по основным темам

курса. Самостоятельная

работа над предложенным учебным материалом

поможет

студентам

выполнить

необходимые

контрольные

работы

подготовиться к сдаче итогового экзамена.

5

Краткие теоретические сведения, методические указания

иконтрольные задания

1.Матрицы и операции над ними

Матрицей размера m ´ n A

 

называется прямоугольная таблица

чисел,

 

 

m´n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

æa

a

... a

ö

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ç

11

12

1n

÷

 

 

 

 

 

 

состоящая из m строк и n столбцов

ça21

a22 ... a2n

÷ .

 

 

 

 

 

 

ç

 

 

 

÷

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ç...................

÷

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ç

 

am2 ... amn

÷

 

 

 

 

 

 

 

 

 

èam1

ø

 

 

 

 

 

 

Квадратной

матрицей n-порядка

называется

матрица, имеющая

одинаковое количество

строк

и

столбцов(m = n).

Например,

квадратные

матрицы 2-го и 3-го

порядка

 

соответственно

имеют :

æ a11

a12

ö

и

 

видç

 

÷

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ç

a22

÷

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

èa21

ø

 

æ

à

11

à

12

ç

 

 

ça21

a22

ç

 

 

a32

èa

31

a

ö

13

÷

a23

÷ .

a33

÷

ø

Числа, составляющие матрицу, называются ее элементами. Элементы,

стоящие на одной горизонтали, образуют строку, а на одной вертикали–

столбец.

Матрица, содержащая одну строку, называется вектором-строкой, а

матрица, содержащая один столбец, – вектором-столбцом.

Элементы матрицы aij , у которых i = j , называют диагональными, они образуют главную диагональ. Например, элементы a11 , a22 , a33 образуют

главную диагональ квадратной матрицы3-го порядка, а элементы a31 , a22 , a13

называют элементами побочной диагонали.

 

 

 

 

 

 

 

 

æ1

0ö

 

 

æ1

0

0ö

 

Виды матриц Единичные матрицы

,

E =

ç

0

1

0

÷

. Диагональные

E = ç

 

 

÷

ç

÷

 

 

 

 

 

 

 

 

ç

0

1

÷

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è

ø

 

 

ç

0

0

1

÷

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è

ø

 

æa

0 ö

æa

0

0

ö

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ç

11

a22

0

÷

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

матрицы ç

11

÷

, ç

0

÷ .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ç

0

÷

ç

 

 

 

÷

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è

a22 ø

0

0

a33

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è

ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

æa

a

ö

 

æ a

0 ö

 

æa

a

Верхние

,

,

ç

11

12

ç

11

12

÷

ç 11

 

÷

ç 0

a22

и нижниетреугольные матрицы ç

0 a22

÷

ç

 

÷

 

 

è

ø

 

èa21

a

22 ø

 

ç

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è

æ a

0

0 ö

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ç 11

a22

÷

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ça21

0 ÷ .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ç

a32

÷

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

èa31

a33 ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a13 ö÷ a23 ÷ , a33 ÷ø

Ступенчатые матрицы

æa

a

 

a

a

 

ö

ç

11

12

 

 

13

14

÷ .

 

 

ç

0

a22

 

a23

a24

÷

 

 

è

 

ø

 

æ0

 

0ö

 

æ0

0

0

ö

 

Нулевые матрицы

 

, 0 =

ç

 

0

0

÷

 

0 = ç

 

÷

ç0

÷.

 

ç

 

÷

 

ç

 

 

 

÷

 

 

è0

 

0ø

 

0

0

0

 

 

 

 

 

 

è

ø

 

 

Транспонирование матрицы

A – это переход к матрице A T , в которой

 

 

 

 

 

 

 

m´n

n´m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

æ a

a

ö

 

строки

и

 

столбцы меняются

местами. Например, если

ç 11

12

÷

, то

 

A = ça21

a22

÷

 

 

 

 

 

 

 

 

ç

a32

÷

 

 

 

 

 

 

 

 

 

èa31

ø

 

AT

æ a

a

 

a

 

ö

 

 

 

 

 

= ç 11

a

21

a

31

÷ .

 

 

 

 

 

 

ça

22

32

÷

 

 

 

 

 

 

è 12

 

 

ø

 

 

 

 

 

Две матрицы A = (aij )

и

B = (bij )

называются равными, если равны все

m´n

 

m´n

 

 

 

 

 

их соответствующие элементы, т. е.

aij = bij .

 

 

 

Произведением матрицы

A

на число l

называется матрица B = l A ,

 

 

m´n

 

 

 

 

m´n m´n

элементы которой равны bij

= laij .

 

 

 

 

 

Суммой двух матриц

A и B называется матрица C , элементы которой

 

m´n

m´n

 

 

 

 

m´n

вычисляются по формуле сij

= aij

+ bij .

 

 

 

 

Произведением двух

матрицA

 

и

B

называется матрица C ,

 

 

 

m´k

 

k´n

m´n

 

 

 

 

 

 

каждый элемент которой cij равен сумме произведений элементовi -ой строки матрицы А на соответствующие элементыj-го столбца матрицы В. Операция умножения двух матриц возможна при условии, что количество столбцов

7

первой

матрицы

 

равно количеству строк второй матрицы. Произведение

матриц некоммутативное, следовательно, A × B ¹ B × A .

 

 

Возведение

в

степеньm квадратной

 

матрицы n-го

порядка – это

умножение матрицы самой на себя m раз. Например, A2

= A × A ,

A3 = A × A × A .

Примеры

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 3ö

æ7

3ö

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

æ

1.1. Найти А + В, 2А - В, АВ, ВА для матриц A = ç

÷ и B = ç

÷ .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

èç

7 5ø÷

èç2 1ø÷

Решение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

æ

4 + 7 3 + 3ö

æ11 6ö

 

 

 

 

 

 

А + В = ç

 

 

 

 

÷

= ç

 

÷.

 

 

 

 

 

 

èç

7 + 2 5 +1ø÷

èç

9 6ø÷

 

 

 

 

 

 

æ

2 × 4 2 ×3ö

-

æ7 3ö

æ 8 - 7 6 - 3 ö

æ

1 3ö

 

 

2А – В = ç

 

 

 

÷

ç

÷ =

ç

÷ = ç

 

÷.

 

 

èç

2 ×7 2 ×5ø÷

 

èç2 1ø÷

èç14 - 2 10 -1ø÷

èç12 9ø÷

 

 

æ4 3ö

´

æ

7 3ö

æ

4 ×7 +

3×2 4 ×3 +

3×1ö

æ34 15 ö

 

 

АВ = ç

÷

ç

 

÷

= ç

 

 

÷

= ç

 

÷.

 

 

èç7 5ø÷

 

èç

2 1ø÷

èç

7 ×7 + 5×2 7 ×3 + 5 ×1ø÷

èç59 26ø÷

 

 

æ7 3ö

´

æ

4 3ö

æ

7 × 4 +

3×7 7 ×3 +

3×5ö

æ

49 36ö

 

 

ВА = ç

÷

ç

 

÷

= ç

 

 

÷

= ç

 

÷.

 

 

èç2 1ø÷

 

èç

7 5ø÷

èç

2 ×4 +1×7 2 ×3 +1×5 ø÷

èç

15 11ø÷

 

 

1.2. Предприятие производит продукцию трех видов и использует сырье двух

типов. Нормы

 

затрат

сырья на

единицу

продукции

каждого

вида

заданы

матрицей

 

æ2 1 3ö

Стоимость

единицы

сырья

каждого

типа

задана

A =

ç

 

÷ .

 

ç

3 4

÷

 

 

 

 

 

 

 

 

è1

ø

 

 

 

 

 

 

матрицей B = (10 15). Каковы общие затраты предприятия на производство 100

единиц продукции первого вида, 200 единиц продукции второго вида и150

единиц продукции третьего типа?

æ100 ö

Указание: пусть матрица C = çç200÷÷ . Используйте следующие формулы: затраты

çè150 ÷ø

сырья S = АС, общая стоимость сырья Q = BS.

8

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.