Решение

Площадь S

треугольника АВС,

в соответствии

с

формулой(8.4),

равна

uuur

uuur

половине площади параллелограмма, построенного на векторах AB и AC , т. е.

1

uuur uuur

uuur

uuur

S =

AB ´ AC

. Вычислим координаты векторов AB и AC :

2

ì

0

1

2

1

2

0

ü

uuur

uuur

uuur uuur

;-

;

AB ={2;0;1},

AC ={-3;-1;2}. Тогда AB ´ AC = í

-1 2

-3 2

-3

-1

ý ,

î

þ

uuur

uuur

1

1

3

× 6

т.е.

AB ´ AC ={1;-7;-2}. Следовательно, S =

×

1 + 49 + 4 =

×

54 =

.

2

2

2

S =

3 ×

.

6

2

Смешанным произведением трех векторов a,b и c называется

число,

равное скалярному произведению вектора a ´ b на вектор c .

Обозначается смешанное произведение abc . Таким образом,

abc = (a ´ b) × c .

(9.1)

Геометрически смешанное произведение интерпретируется как число,

равное объему параллелепипеда, построенного на векторах a,b и c ,

как на

Если

векторыa,b и c

заданы

своими

координатамиa ={x1 , y1 , z1}, b =

{x2 , y2 , z2 } и

c = {x3 , y3 , z3 },

то

смешанное

произведение

вычисляется

следующим образом:

x1

y1

z1

abc =

x2

y2

z2

.

(9.2)

x3

y3

z3

Еслиabc > 0, то векторы a,b и c

образуют

правую тройку

векторов, а

если abc <0, то тройка векторов a,b и c – левая.

С помощью смешанного произведения можно вычислить:

а) объем параллелепипеда, построенного на векторах a,b и c :

V =

abc

.

(9.3)

b) объем треугольной пирамиды, построенной на векторах a,b и c :

V =

1

abc

(9.4)

Пример

6

9.1. Доказать, что четыре точки А1(3;5;1), А2(2;4;7), А3(1;5;3), А4(4;4;5) лежат в

одной плоскости.

Проверим условие

компланарности векторов(свойство 4 смешанного

произведения векторов)

А1 А2 × А1 А3 × А1 А4 =

-1

-1

6

- 2

0

2

= 0 - 2 +12 - 0 - 2 - 8 = 0.

1

-1

4

задает

прямую

линию, и

обратно,

всякая

прямая

линия

задается

в

прямоугольной

системе

координат

линейным

уравнением. Рассмотрим

некоторые виды уравнений прямой на плоскости.

Общее уравнение прямой на плоскости имеет вид

Ax + By + C = 0 .

(10.1)

Уравнение прямой с угловым коэффициентом k .

y = kx + b .

(10.2)

Параметр k характеризует направление прямой и называется ееугловым

коэффициентом,

k = tgj,

где j

–

угол,

образованный

прямой

с

положительным направлением осиОх;

свободный член b

равен

величине

отрезка, отсекаемого данной прямой на

оси y,О считая от

начала

координат

(рис. 2.1.1).

Расстояние

между двумя

точкамиM1 ( x1 , y1 ) и M 2 ( x2 , y2 ) находится

по

формуле

d =

(x2 - x1 )2 + ( y2 - y1 )2 .

(10.6)

Координаты

точки M 0 (x0 , y0 ) , делящей отрезок с

концамиM1 ( x1 , y1 )

и

M 2 ( x2 , y2 ) в отношении l , находят по формуле

ì

x

+ lx

2

ïx0

=

1

1 + l

ï

í

y

+ ly

.

(10.7)

ï

1

2

ïy0

=

1 + l

î

Пусть заданы уравнения двух

прямых l1:

y = k1 x + b1 и

l2: y = k2 x + b2 .

Рассмотрим взаимное расположение прямых l1 и l2 .

Критерий параллельности:

l1 || l2 Û k1

= k2 .

(10.8)

Критерий перпендикулярности:

l

^ l

Û k1 = -

1

.

(10.9)

2

1

k2

Угол между этими прямыми определяется формулой

tgj =

k2 - k1

.

(10.10)

1+ k k

2

1

Точка пересечения двух прямых находится из решения системы уравнений

ìy = k

x + b

í

1

1 .

îy = k2 x + b2

Примеры

10.1.

Составить уравнение двух прямых,

проходящих через точку

А(2; 1),

Угловой коэффициент прямой

k =

3

(так

как уравнение прямой

равен

2

y =

3

x +1

). По

критерию

параллельности (10.8)

можно представить в виде

2