выч.математика - Башуров

f (0) = -1; f (1) = 2 , следовательно, корень уранения находится на интервале

Решение данного уравнения численным методом секущих (аналог метода хорд) с помощью пакета Mathcad дает следующий результат: x = 0, 418 .

Более быстрым способом решения уравнений являетсяметод касательных (или метод Ньютона). Пусть уравнение f (x) = 0 имеет один корень на отрезке [a;b], а первая и вторая производные функции f (x) определены, не-

прерывны, сохраняют постоянный знак на этом интервале. Без ограничения общности f (a) < 0 , f (b) > 0 и f ¢(x) > 0 (функция возрастает), f ¢¢(x) > 0

30

(функция выпукла вниз). Выбираем в качестве начального приближения x0 тот конец интервала, где совпадают знаки функции и второй производной, – это правый конец интервала b . Проводим касательную к графику y = f (x) в точ-

ке (x0 ; f (x0 )) и находим пересечение касательной с осьюOx – полученное значение будет первой итерацией x1 . Далее проводим касательную через точку

(x1; f (x1 )), опять ищем пересечение с осьюOx , получаем вторую итерацию x2 , и т. д. Геометрически метод представлен на рис. 10.

Рис. 10. Иллюстрация метода касательных

Общая формула итерационной процедуры записывается следующим образом:

Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока не будет выполнено условие xi+1 - xi < ε , где ε – заранее заданная точность.

Пример. Найти корни уравнения sin (x)+1 = x2 методом касательных с

уравнение графически, записав его в виде sin (x) = x2 -1. Построим графики двух функций y1 = sin (x) и y2 = x2 -1 и найдем их пересечение (рис. 11).

31

Рис. 11. Графическое решение уравнения

sin (x) = x2 -1

Уравнение имеет два корня: меньший находится на интервале(-1; 0) ,

больший – на интервале (1; 2). Рассмотрим первый интервал и вычислим наи-

f ¢(x1 ) = 2,1220 .

-0,0672

Находим вторую итерациюx2 = -0,6687 - = -0,6370 ,

2,1220

грешность ε3 = -0,6370 + 0, 6367 = 0,0003. Так как ε3 < ε , то процесс оста-

навливаем, решением уравнения будет x = -0,637 ± 0,001.

Рассмотрим интервал (1; 2)и вычислим второй корень. На этом интервале f ¢(x) < 0 , f (1) = 0,8415 ; f (2) = -2,0907 , следовательно, в качестве на-

чального приближения берем x0 = 2 и f ¢(2) = -4, 4161.

32

6. Численное интегрирование

Численное интегрирование применяется, если первообразную нельзя выразить в элементарных функциях или подынтегральная функция задана в виде таблицы. Методы численного нахождения определенного интеграла сводятся к использованию его геометрического смысла(площадь криволинейной трапеции) в случае кусочно-непрерывной подынтегральной функции. Если подынтегральная функция задана таблично, то она аппроксимируется чаще всего через локальную интерполяцию.

33

b

Без ограничения общности рассмотрим ò f (x)dx , где на отрезке [a;b]

a

b

задана непрерывная положительная функция f (x). Тогда ò f (x)dx есть пло-

a

щадь криволинейной трапеции, ограниченной прямыми x = a , x = b , y = 0 и

графиком y = f (x). Если функция принимает и отрицательные значения или

имеет конечное число разрывов, то интеграл можно разбить на сумму интегралов от непрерывных и знакопостоянных функций.

определяем значения yi = f (xi ). Приближая криволинейную трапецию пря-

моугольниками, получаем формулы вычисления определенного интеграла:

b

ò f (x)dx » h( y0 + y1 + ... + yn-1 ) (формула левых прямоугольников);

a b

ò f (x)dx » h (y1 + y2 + ... + yn ) (формула правых прямоугольников).

a

Погрешность формул прямоугольников порядка h .

Рис. 12. Метод левых прямоугольников

Более точным приближением являются трапеции (или линейная интерполяция), которые дают формулу трапеций

34

С помощью Mathcad можно вычислить следующим образом:

35

7. Ряды Фурье

При решении различных задач приходится вычислять на компьютере значения элементарных функций. Один из основных способов вычисления значе-

ний – разложение функций в степенные ряды. Например, функция sin (x) за-

меняется рядом Маклорена в следующем виде:

sin (x )= x - x3 + x5 - x7 + ...

3! 5! 7!

При известном значении аргумента x значение функции может быть получено с точностью до погрешности округления.

Периодические функции, которые описывают периодические процессы, встречающиеся в радиотехнике, электротехнике, теории автоматического регулирования и т. д., целесообразнее разлагать в тригонометрический ряд. Простейшим периодическим процессом являетсяпростое гармоническое колебание, описываемое функцией

y = Asin (ωt + φ0 ), t ³ 0 ,

где A – амплитуда колебаний, ω – частота, φ0 – начальная фаза. Функцию такого вида и ее график называют простой гармоникой. Периодом функции яв-

ляется T = 2π . Простую гармонику можно представить через периодические

ω

функции sin (ωt ) и cos (ωt ) в виде

y = Asin (ωt + φ0 ) a cos=(ωt ) + bsin (ωt ).

Сложное гармоническое колебаниевозникает в результате наложения счетного числа простых гармоник и также представляется через периодические

функции вида sin (ωt ) и cos (ωt ), являясь при этом периодической функцией.

Пусть f (x) – конечная функция с периодом 2π , кусочно-непрерывная и кусочно-монотонная на интервале [-π; π]. Ее можно представить в видеряда Фурье, членами которого являются простые гармоники

36

Решение. Находим коэффициенты ряда Фурье:

37

В результате разложения f (x) в ряд Фурье, например до n = 5 , получаем:

Рис. 13. Исходная функция и ее представление через ряд Фурье

Если функция f (x) имеет произвольный период 2l , является кусочно-

упрощается вычисление коэффициентов Фурье. У четной функции все bn = 0 и

38

формулам:

Эти формулы используются для нахождения коэффициетов ряда Фурье при разложении функции f (x), заданной на интервале [0; l ], когда ее дооп-

ределяют четным или нечетным образом на интервал [-l; 0).

Пример. Разложить в ряд Фурье по косинусам функциюg (x) = x2 , за-

данную на отрезке [0; 1].

Решение. Находим коэффициенты ряда Фурье:

39