выч.математика - Башуров
.pdfДля расчета |
среднеквадратичного |
уклонения |
опять составим таблицу |
|||||
(чаще продолжают вправо первую расчетную таблицу): |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
|
yi |
φ (xi ) |
|
é y - φ(x )ù2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ë i |
i û |
|
|
1 |
|
4,8 |
4,10 |
|
0,490 |
|
|
|
2 |
|
2,5 |
3,03 |
|
0,281 |
|
|
|
3 |
|
1,4 |
1,96 |
|
0,314 |
|
|
|
4 |
|
0,8 |
0,89 |
|
0,008 |
|
|
|
5 |
|
0,3 |
-0,18 |
|
0,230 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сумма |
|
1,323 |
|
|
В результате получаем ε = 0,514 .
Рассмотрим класс квадратических функцийφ (x) = a0 + a1 x + a2 x2 . Ис-
пользуя вышеуказанную методику, параметры a0 , a1 и a2 ищем из системы уравнений:
|
n |
|
n |
|
n |
a0 × n + a1 × åxi + a2 ×åxi2 = å yi ; |
|||||
|
i=1 |
|
= i 1 |
= |
i 1 |
n |
n |
|
n |
|
n |
a0 × åx1 + a1 ×åxi2 + a2 × åxi3 |
= åxi yi ; |
||||
i=1 |
= i 1 |
= |
i 1 = |
|
i 1 |
n |
n |
|
n |
|
n |
a0 × åxi2 + a1 × åxi3 + a2 ×åxi4 |
= åxi2 yi . |
||||
i=1 |
= i 1 |
= |
i 1= |
|
i 1 |
Аналогично можно получить систему линейных уравнений для любой степени многочлена. Если аппроксимирующая функция не многочлен, то для определения параметров будет получаться система нелинейных уравнений, которую решать непросто. С целью упрощения вычислений некоторые функции с помощью замен приводят к виду многочлена, для которых системы линейных уравнений хорошо строятся и легко решаются.
Рассмотрим класс гиперболических |
функций видаφ (x )= a |
+ |
a1 |
или |
|||||||
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
x |
|||
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
||
φ (x )= |
|
|
|
. В первом случае с помощью замены t = |
приводим к ли- |
||||||
a |
|
|
|
|
|||||||
|
|
+ a x |
|
x |
|
|
|
||||
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
нейному |
виду φ (t ) = a0 + a1t ; во втором |
случае замена значений |
табличной |
20
функции z = |
1 |
приводит к виду ψ (x) = a |
+ a x . Для нахождения коэффици- |
|
|||
|
y |
0 |
1 |
|
|
|
ентов a0 , a1 записываем систему двух уравнений для линейной функции, где в первом случае вместо xi стоят ti , а во втором случае вместо yi стоят zi .
Пример. Задана такая же табличная функция
|
|
|
x |
|
|
|
1 |
|
2 |
3 |
|
|
4 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
y |
|
|
|
4,8 |
|
2,5 |
1,4 |
|
|
0,8 |
0,3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Построить аппроксимирующую функцию в виде гиперболической зави- |
||||||||||||||||||||||||||
симости φ (x )= a |
+ |
|
a1 |
, методом наименьших квадратов найти a |
|
и a , вы- |
|||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
||||||||||||
числить среднеквадратичное уклонение ε . |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Решение. Составим расчетную таблицу с заменой t = |
: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
xi |
|
|
|
yi |
|
|
|
ti |
|
|
ti2 |
|
|
ti × yi |
|
|
|
|
|||||||
|
|
1 |
|
|
|
4,8 |
|
1 |
|
1 |
|
4,8 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
2 |
|
|
|
2,5 |
|
|
0,5 |
|
0,25 |
|
1,25 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
1,4 |
|
|
0,33 |
|
0,11 |
|
0,47 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
0,8 |
|
|
0,25 |
|
0,06 |
|
0,20 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
5 |
|
|
|
0,3 |
|
|
0,2 |
|
0,04 |
|
0,06 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Сумма |
|
|
|
|
9,8 |
|
2,28 |
|
|
1,46 |
|
6,78 |
|
|
|
|
||||||||||
|
Получаем систему уравнений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5a0 + 2,28a1 = 9,8 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2,28a0 +1, 46a1 = 6,78 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
5,47 |
|
||||||||
|
Получаем a |
= -0,54 и a = 5,47 и зависимость φ (x )= -0,54 + |
. |
||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21
Рис. 6. Экспериментальные точки и график гиперболической эмпирической функции
Расчитываем среднеквадратичное уклонение:
xi |
yi |
φ (xi ) |
é y - φ(x |
)ù2 |
|
|
|
|
ë i |
i |
û |
1 |
4,8 |
4,93 |
0,017 |
|
|
2 |
2,5 |
2,20 |
0,093 |
|
|
3 |
1,4 |
1,28 |
0,014 |
|
|
4 |
0,8 |
0,93 |
0,001 |
|
|
5 |
0,3 |
0,55 |
0,065 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сумма |
0,189 |
|
|
В результате получаем ε = 0,194 .
Для степенной функции φ (x) = a0 xa1 приведение к линейному виду про-
исходит через логарифмирование всего выражения. Имеем:
|
|
|
ln φ (x) = ln (a0=xa1 ) |
ln a0 + a1 ln x . |
|
|
|||
|
Делая замены z = ln y , ln a0 |
= b0 , t = ln x , получаем линейную зависи- |
|||||||
мость ψ (t ) = b0 + a1t . Тогда в системе уравнений нужно поменять xi на ti , |
yi |
||||||||
на zi |
и a0 |
на b0 . |
Решая систему, находим b0 |
и a1 . |
Остается вычислить |
||||
a = eb0 , и наилучшее приближение в классе степенных функций найдено. |
|
||||||||
0 |
Аналогичная |
процедура |
происходит и |
для |
показательной |
функции |
|||
φ (x) |
|||||||||
= a ea1x |
, где приходим к линейному виду через логарифмирование |
|
|||||||
|
0 |
|
ln φ(x) = ln (a0=ea1x ) |
|
|
|
|
||
|
|
|
ln a0 + a1x |
|
|
22
и замены z = ln y , |
ln a0 = b0 . Решая систему уравнений, |
где нужно поменять |
||||||
y |
на z |
и a |
на b , находим b |
и a . Вычисляем a |
0 |
= eb0 |
и получаем наилуч- |
|
i |
i |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
шее приближение в классе показательных функций. |
|
|
|
|||||
|
Пример. Задана опять такая же табличная функция |
|
|
|
|
x |
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
|
4 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
y |
|
|
4,8 |
|
2,5 |
|
1,4 |
|
|
|
0,8 |
0,3 |
|
|
|
|
|||||
|
Построить аппроксимирующую функцию в виде показательной зависи- |
|||||||||||||||||||||||
мости φ (x) = a ea1x , методом наименьших квадратов найти a |
и a , вычислить |
|||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|||||
среднеквадратичное уклонение ε . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Решение. Составим расчетную таблицу с заменами z = ln y , ln a0 = b0 : |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
xi |
|
yi |
|
|
|
zi |
|
|
|
x2 |
|
|
xi × zi |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
4,8 |
|
1,57 |
|
|
|
1 |
|
|
1,57 |
|
|
|
||||||||
|
|
2 |
|
2,5 |
|
|
0,92 |
|
|
|
4 |
|
|
1,83 |
|
|
|
|||||||
|
|
3 |
|
1,4 |
|
|
0,34 |
|
|
|
9 |
|
|
1,01 |
|
|
|
|||||||
|
|
4 |
|
0,8 |
|
|
-0,22 |
|
|
16 |
|
-0,89 |
|
|
||||||||||
|
|
5 |
|
0,3 |
|
|
-1,20 |
|
|
25 |
|
-6,02 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Сумма |
15 |
|
|
|
|
1,39 |
|
|
55 |
|
-2,50 |
|
|
||||||||||
|
Получаем систему уравнений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
5b0 +15a1 =1,39; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
15b0 + 55= a1 -2,50 . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Отсюда b = 2,28 , a = -0,67 , a |
|
= e2,28 |
= 9,78 и φ (x) = 9,78e-0,67 x . |
||||||||||||||||||||
0 |
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 7. Экспериментальные точки и график показательной эмпирической функции
23
Расчитываем среднеквадратичное уклонение:
xi |
yi |
φ (xi ) |
é y - φ(x |
)ù2 |
|
|
|
|
ë i |
i |
û |
1 |
4,8 |
5,00 |
0,041 |
|
|
2 |
2,5 |
2,56 |
0,004 |
|
|
3 |
1,4 |
1,31 |
0,008 |
|
|
4 |
0,8 |
0,67 |
0,017 |
|
|
5 |
0,3 |
0,34 |
0,002 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сумма |
0,072 |
|
|
В результате получаем ε = 0,120 .
Из рассмотренных в примерах трех зависимостей можно сделать вывод: наименьшее среднеквадратичное уклонение ε = 0,120 у показательной функции, следовательно, она выбирается для аппроксимации табличной функции.
Разумеется, перечень возможных замен переменных, позволяющих свести ту или иную функцию к линейной или другой зависимости, можно продолжать. Круг функций, позволяющих сделать замену, весьма широк и ограничивается только кругозором и опытом исследователя. Важно лишь, пользуясь этим приемом, неизменно соблюдать следующее правило: во всех случаях, при оценке точности выбранной эмпирической формулы, необходимо вычислять среднеквадратичное уклонение для ее исходного вида, а не для той функции, к которой мы сводим эту формулу путем замены переменных.
Замечание. Приведенные здесь показательная и степенная функции имеют по одному жесткому ограничению: показательная функция на одной из бесконечностей стремится к нулю, а степенная функция в нуле равна нулю. Чтобы избежать таких ограничений, удобнее рассматривать эти эмпирические
функции в виде φ (x) = a0ea1x + a2 и φ (x) = a0 xa1 + a2 . Такие функции невозможно привести к квадратичной зависимости, поэтому для нахождения коэффициентов используются приближенные методы, с которыми можно познакомиться в специальной литературе.
С помощью пакета Mathcad можно продемонстрировать аппроксимацию линейной, квадратичной, а также показательной и степенной функциями.
Пример. Задана табличная функция
Построим линейную эмпирическую функцию
24
Построим квадратичскую эмпирическую функцию
Построим показательную и степенную эмпирические функции
Для каждой из зависимостей находим среднеквадратические уклонения
Изобразим точки табличной функции вместе с зависимостями (рис. 8).
Рис. 8. Экспериментальные точки и графики эмпирических функций
25
Задания для контрольной работы «Моделирование систем»
1–10. Задачи на интерполяцию
Задана табличная функция. Построить интерполяционные многочлены в общем виде, в форме Лагранжа, в форме Ньютона и с их помощью определить значение в промежуточной точкеx0 . Построить график интерполяционной
функции вместе с точками табличной функции. Табличные функции и промежуточные точки заданы в вариантах:
1.
|
x |
2,5 |
3,5 |
4,5 |
|
y |
2,3 |
2,8 |
3,5 |
2. |
x0 = 3,0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
1,0 |
2,0 |
3,0 |
|
y |
1,2 |
1,8 |
2,0 |
3. |
x0 =1,6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2,0 |
2,5 |
3,0 |
|
y |
0,8 |
1,5 |
2,0 |
4. |
x0 = 2,3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
0,5 |
1,5 |
2,5 |
|
y |
0,5 |
-0,3 |
-0,7 |
|
x0 =1,8 |
|
|
|
5. |
|
|
|
|
|
x |
1,0 |
1,5 |
2,0 |
|
y |
-0,5 |
0,1 |
1,3 |
6. |
x0 =1,3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
1,5 |
2,5 |
3,5 |
|
y |
3,2 |
2,5 |
1,5 |
7. |
x0 = 2,0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2,0 |
3,0 |
4,0 |
|
y |
1,1 |
0,6 |
-0,5 |
8. |
x0 = 3, 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
1,5 |
2,0 |
2,5 |
|
y |
1,0 |
0,3 |
0,1 |
|
x0 =1,8 |
|
|
|
26
9.
|
|
x |
2,5 |
3,0 |
3,5 |
|
|
y |
-1,3 |
-0,5 |
-0,2 |
10. |
x0 |
= 2,7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
0,5 |
1,0 |
1,5 |
|
|
y |
2,5 |
2,2 |
1,4 |
|
x0 |
=1,3 |
|
|
|
11–20. Задачи на метод наименьших квадратов
В таблице даны измерения некоторой величины. Построить аппроксимирующие функции в виде линейной зависимостиφ (x) = a0 + a1 x , квадратиче-
ской зависимости φ (x) |
= a |
+ a x + a |
2 |
x2 , гиперболических функций вида |
||||
|
a1 |
|
0 |
1 |
|
|
||
φ (x )= a + |
и φ (x )= |
1 |
|
, степенной функции φ (x) = a xa1 и показа- |
||||
|
|
|
||||||
0 |
x |
a0 + a1x |
|
|
0 |
|||
|
|
|
|
|||||
тельной зависимости φ (x) = a ea1x |
. Методом наименьших квадратов найти па- |
|||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
раметры a0 и a1 (для квадратической еще и a2 ). Для каждой зависимости вы-
числить среднеквадратичное уклонение ε и определить наилучшее приближение. Построить графики всех зависимостей вместе с точками табличной функции. Таблицы значений приведены в вариантах:
11.
|
x |
1,0 |
2,2 |
3,0 |
3,4 |
4,5 |
12. |
y |
0,8 |
2,5 |
2,4 |
2,8 |
3,3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
1,0 |
1,2 |
2,0 |
2,4 |
3,5 |
13. |
y |
0,2 |
0,5 |
1,4 |
1,8 |
4,1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
1,0 |
1,5 |
2,0 |
2,4 |
2,6 |
14. |
y |
0,3 |
0,8 |
1,0 |
1,8 |
2,3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
1,0 |
1,7 |
2,1 |
2,4 |
4,0 |
15. |
y |
0,5 |
1,5 |
1,6 |
2,1 |
2,0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
1,0 |
1,4 |
1,8 |
2,4 |
3,6 |
16. |
y |
0,4 |
0,5 |
0,7 |
1,8 |
1,9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
1,0 |
2,0 |
3,5 |
4,4 |
5,0 |
|
y |
0,2 |
1,3 |
2,2 |
2,9 |
3,4 |
27
17.
|
x |
1,0 |
1,3 |
1,8 |
2,6 |
3,8 |
18. |
y |
0,6 |
1,9 |
2,0 |
2,3 |
3,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
1,0 |
1,8 |
2,0 |
2,4 |
2,9 |
20. |
y |
1,0 |
2,7 |
3,4 |
3,6 |
3,8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
1,0 |
1,6 |
2,1 |
2,4 |
3,4 |
|
y |
0,7 |
0,9 |
1,0 |
1,8 |
2,3 |
Часть II. Вычислительная математика
5. Решение уравнений
Рассмотрим уравнение с одним неизвестным, которое в общем случае можно представить в виде
f (x) = 0 ,
где функция f (x) определена и непрерывна на некотором интервале[a;b].
Необходимо найти корни этого уравнения. При некоторых видах функции f (x) существуют аналитические решения, но в большинстве случаев исполь-
зуются численные методы. Практически все численные итерационные методы используют графический поиск корней уравнения f (x) = 0 , а именно корнем уравнения будет абсцисса точки пересечения графика функцииf (x) с осью
Ox в двумерной декартовой системе координат.
Прежде чем использовать какой-либо численный метод, необходимо провести отделение корней, т. е. определить количество корней уравнения и выделить достаточно малые интервалы, в каждом из которых заключен только один
корень. Условием существования |
корня непрерывной функции на интервале |
[a;b] является неравенство f (a) |
× f (b) < 0 . Для отделения корней применя- |
ются разные способы, но самым надежным является качественное построение
графика функции f (x). |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Среди |
многочисленных |
методов |
решения остановимся |
методена |
хорд. |
|||||||
Пусть |
уравнение f |
( |
x |
) |
= 0 имеет |
один |
[ |
] |
, а первая и |
||||
|
|
корень на отрезкеa;b |
|
||||||||||
вторая производные функции |
f (x) |
определены, непрерывны и |
f ¢¢(x) |
сохра- |
|||||||||
няет |
постоянный |
|
|
знак |
на |
этом |
интервале. Без ограничения |
общности |
|||||
f (a) |
< 0 , |
f (b) > 0 и |
f ¢¢(x) > 0 (функция выпукла вниз). Выбираем непод- |
28
вижный конец из условия совпадения знака функции и второй производной– это правый конец интервала b , обозначим его через x* . Тогда левый конец интервала a будет подвижным и станет начальным приближениемx0 решения
уравнения. Проводим отрезок (хорду), соединяющий точки (x0 ; f (x0 )) и
(x* ; f (x* )), который пересекает ось Ox в точке x1 – это будет первая итера-
ция. Далее проводим хорду между точками (x1; f (x1 )) и (x* ; f (x* )), которая
пересекает ось Ox в точке x2 – это будет вторая итерация и т. д. Геометрически метод представлен на рис. 9.
Рис. 9. Иллюстрация метода хорд
Общая формула итерационной процедуры записывается следующим образом:
|
x - x* |
|
|
|
i |
|
|
xi+1 = xi - f (xi )f (xi )- f (x* |
,)i = 0, 1, 2,..., |
|
|
где начальное приближение x – подвижный конец интервала, x* |
– неподвиж- |
||
0 |
|
|
|
ный конец интервала. Итерационный процесс продолжается, пока не будет вы-
полнено условие |
xi+1 - xi |
< ε , где ε – заранее заданная точность. |
||
Пример. Найти корни |
уравнения 3x + x - 2 = 0 |
методом хорд с точно- |
||
стью ε =10-2 . |
|
|
f (x) = 3x + x - 2. Тогда |
f ¢(x) = 3x ln 3 +1 и |
Решение. |
Обозначим |
|||
f ¢¢(x) = 3x ln2 3. |
Как видно, |
f (x) всюду непрерывная, дифференцируемая |
29