Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

выч.математика - Башуров

.pdf
Скачиваний:
28
Добавлен:
17.05.2015
Размер:
437.04 Кб
Скачать

Для расчета

среднеквадратичного

уклонения

опять составим таблицу

(чаще продолжают вправо первую расчетную таблицу):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xi

 

yi

φ (xi )

 

é y - φ(x )ù2

 

 

 

 

 

 

 

ë i

i û

 

 

1

 

4,8

4,10

 

0,490

 

 

 

2

 

2,5

3,03

 

0,281

 

 

 

3

 

1,4

1,96

 

0,314

 

 

 

4

 

0,8

0,89

 

0,008

 

 

 

5

 

0,3

-0,18

 

0,230

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сумма

 

1,323

 

 

В результате получаем ε = 0,514 .

Рассмотрим класс квадратических функцийφ (x) = a0 + a1 x + a2 x2 . Ис-

пользуя вышеуказанную методику, параметры a0 , a1 и a2 ищем из системы уравнений:

 

n

 

n

 

n

a0 × n + a1 × åxi + a2 ×åxi2 = å yi ;

 

i=1

 

= i 1

=

i 1

n

n

 

n

 

n

a0 × åx1 + a1 ×åxi2 + a2 × åxi3

= åxi yi ;

i=1

= i 1

=

i 1 =

 

i 1

n

n

 

n

 

n

a0 × åxi2 + a1 × åxi3 + a2 ×åxi4

= åxi2 yi .

i=1

= i 1

=

i 1=

 

i 1

Аналогично можно получить систему линейных уравнений для любой степени многочлена. Если аппроксимирующая функция не многочлен, то для определения параметров будет получаться система нелинейных уравнений, которую решать непросто. С целью упрощения вычислений некоторые функции с помощью замен приводят к виду многочлена, для которых системы линейных уравнений хорошо строятся и легко решаются.

Рассмотрим класс гиперболических

функций видаφ (x )= a

+

a1

или

 

 

 

 

 

 

 

0

 

x

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

φ (x )=

 

 

 

. В первом случае с помощью замены t =

приводим к ли-

a

 

 

 

 

 

 

+ a x

 

x

 

 

 

0

 

1

 

 

 

 

 

 

 

нейному

виду φ (t ) = a0 + a1t ; во втором

случае замена значений

табличной

20

функции z =

1

приводит к виду ψ (x) = a

+ a x . Для нахождения коэффици-

 

 

y

0

1

 

 

 

ентов a0 , a1 записываем систему двух уравнений для линейной функции, где в первом случае вместо xi стоят ti , а во втором случае вместо yi стоят zi .

Пример. Задана такая же табличная функция

 

 

 

x

 

 

 

1

 

2

3

 

 

4

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

4,8

 

2,5

1,4

 

 

0,8

0,3

 

 

 

 

 

 

 

 

Построить аппроксимирующую функцию в виде гиперболической зави-

симости φ (x )= a

+

 

a1

, методом наименьших квадратов найти a

 

и a , вы-

 

 

0

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

0

1

 

числить среднеквадратичное уклонение ε .

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

Решение. Составим расчетную таблицу с заменой t =

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xi

 

 

 

yi

 

 

 

ti

 

 

ti2

 

 

ti × yi

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

4,8

 

1

 

1

 

4,8

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2,5

 

 

0,5

 

0,25

 

1,25

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

1,4

 

 

0,33

 

0,11

 

0,47

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

0,8

 

 

0,25

 

0,06

 

0,20

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

0,3

 

 

0,2

 

0,04

 

0,06

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сумма

 

 

 

 

9,8

 

2,28

 

 

1,46

 

6,78

 

 

 

 

 

Получаем систему уравнений

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5a0 + 2,28a1 = 9,8 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2,28a0 +1, 46a1 = 6,78 .

 

 

 

 

 

 

 

 

5,47

 

 

Получаем a

= -0,54 и a = 5,47 и зависимость φ (x )= -0,54 +

.

 

 

0

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

21

Рис. 6. Экспериментальные точки и график гиперболической эмпирической функции

Расчитываем среднеквадратичное уклонение:

xi

yi

φ (xi )

é y - φ(x

2

 

 

 

ë i

i

û

1

4,8

4,93

0,017

 

 

2

2,5

2,20

0,093

 

 

3

1,4

1,28

0,014

 

 

4

0,8

0,93

0,001

 

 

5

0,3

0,55

0,065

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сумма

0,189

 

 

В результате получаем ε = 0,194 .

Для степенной функции φ (x) = a0 xa1 приведение к линейному виду про-

исходит через логарифмирование всего выражения. Имеем:

 

 

 

ln φ (x) = ln (a0=xa1 )

ln a0 + a1 ln x .

 

 

 

Делая замены z = ln y , ln a0

= b0 , t = ln x , получаем линейную зависи-

мость ψ (t ) = b0 + a1t . Тогда в системе уравнений нужно поменять xi на ti ,

yi

на zi

и a0

на b0 .

Решая систему, находим b0

и a1 .

Остается вычислить

a = eb0 , и наилучшее приближение в классе степенных функций найдено.

 

0

Аналогичная

процедура

происходит и

для

показательной

функции

φ (x)

= a ea1x

, где приходим к линейному виду через логарифмирование

 

 

0

 

ln φ(x) = ln (a0=ea1x )

 

 

 

 

 

 

 

ln a0 + a1x

 

 

22

и замены z = ln y ,

ln a0 = b0 . Решая систему уравнений,

где нужно поменять

y

на z

и a

на b , находим b

и a . Вычисляем a

0

= eb0

и получаем наилуч-

i

i

0

0

0

1

 

 

шее приближение в классе показательных функций.

 

 

 

 

Пример. Задана опять такая же табличная функция

 

 

 

 

x

 

 

1

 

2

 

3

 

 

 

4

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

4,8

 

2,5

 

1,4

 

 

 

0,8

0,3

 

 

 

 

 

Построить аппроксимирующую функцию в виде показательной зависи-

мости φ (x) = a ea1x , методом наименьших квадратов найти a

и a , вычислить

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

1

 

 

среднеквадратичное уклонение ε .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. Составим расчетную таблицу с заменами z = ln y , ln a0 = b0 :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xi

 

yi

 

 

 

zi

 

 

 

x2

 

 

xi × zi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

4,8

 

1,57

 

 

 

1

 

 

1,57

 

 

 

 

 

2

 

2,5

 

 

0,92

 

 

 

4

 

 

1,83

 

 

 

 

 

3

 

1,4

 

 

0,34

 

 

 

9

 

 

1,01

 

 

 

 

 

4

 

0,8

 

 

-0,22

 

 

16

 

-0,89

 

 

 

 

5

 

0,3

 

 

-1,20

 

 

25

 

-6,02

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сумма

15

 

 

 

 

1,39

 

 

55

 

-2,50

 

 

 

Получаем систему уравнений

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5b0 +15a1 =1,39;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15b0 + 55= a1 -2,50 .

 

 

 

 

 

 

 

 

Отсюда b = 2,28 , a = -0,67 , a

 

= e2,28

= 9,78 и φ (x) = 9,78e-0,67 x .

0

 

1

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 7. Экспериментальные точки и график показательной эмпирической функции

23

Расчитываем среднеквадратичное уклонение:

xi

yi

φ (xi )

é y - φ(x

2

 

 

 

ë i

i

û

1

4,8

5,00

0,041

 

 

2

2,5

2,56

0,004

 

 

3

1,4

1,31

0,008

 

 

4

0,8

0,67

0,017

 

 

5

0,3

0,34

0,002

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сумма

0,072

 

 

В результате получаем ε = 0,120 .

Из рассмотренных в примерах трех зависимостей можно сделать вывод: наименьшее среднеквадратичное уклонение ε = 0,120 у показательной функции, следовательно, она выбирается для аппроксимации табличной функции.

Разумеется, перечень возможных замен переменных, позволяющих свести ту или иную функцию к линейной или другой зависимости, можно продолжать. Круг функций, позволяющих сделать замену, весьма широк и ограничивается только кругозором и опытом исследователя. Важно лишь, пользуясь этим приемом, неизменно соблюдать следующее правило: во всех случаях, при оценке точности выбранной эмпирической формулы, необходимо вычислять среднеквадратичное уклонение для ее исходного вида, а не для той функции, к которой мы сводим эту формулу путем замены переменных.

Замечание. Приведенные здесь показательная и степенная функции имеют по одному жесткому ограничению: показательная функция на одной из бесконечностей стремится к нулю, а степенная функция в нуле равна нулю. Чтобы избежать таких ограничений, удобнее рассматривать эти эмпирические

функции в виде φ (x) = a0ea1x + a2 и φ (x) = a0 xa1 + a2 . Такие функции невозможно привести к квадратичной зависимости, поэтому для нахождения коэффициентов используются приближенные методы, с которыми можно познакомиться в специальной литературе.

С помощью пакета Mathcad можно продемонстрировать аппроксимацию линейной, квадратичной, а также показательной и степенной функциями.

Пример. Задана табличная функция

Построим линейную эмпирическую функцию

24

Построим квадратичскую эмпирическую функцию

Построим показательную и степенную эмпирические функции

Для каждой из зависимостей находим среднеквадратические уклонения

Изобразим точки табличной функции вместе с зависимостями (рис. 8).

Рис. 8. Экспериментальные точки и графики эмпирических функций

25

Задания для контрольной работы «Моделирование систем»

1–10. Задачи на интерполяцию

Задана табличная функция. Построить интерполяционные многочлены в общем виде, в форме Лагранжа, в форме Ньютона и с их помощью определить значение в промежуточной точкеx0 . Построить график интерполяционной

функции вместе с точками табличной функции. Табличные функции и промежуточные точки заданы в вариантах:

1.

 

x

2,5

3,5

4,5

 

y

2,3

2,8

3,5

2.

x0 = 3,0

 

 

 

 

 

 

 

 

x

1,0

2,0

3,0

 

y

1,2

1,8

2,0

3.

x0 =1,6

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2,0

2,5

3,0

 

y

0,8

1,5

2,0

4.

x0 = 2,3

 

 

 

 

 

 

 

 

x

0,5

1,5

2,5

 

y

0,5

-0,3

-0,7

 

x0 =1,8

 

 

 

5.

 

 

 

 

 

x

1,0

1,5

2,0

 

y

-0,5

0,1

1,3

6.

x0 =1,3

 

 

 

 

 

 

 

 

x

1,5

2,5

3,5

 

y

3,2

2,5

1,5

7.

x0 = 2,0

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2,0

3,0

4,0

 

y

1,1

0,6

-0,5

8.

x0 = 3, 4

 

 

 

 

 

 

 

 

x

1,5

2,0

2,5

 

y

1,0

0,3

0,1

 

x0 =1,8

 

 

 

26

9.

 

 

x

2,5

3,0

3,5

 

 

y

-1,3

-0,5

-0,2

10.

x0

= 2,7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

0,5

1,0

1,5

 

 

y

2,5

2,2

1,4

 

x0

=1,3

 

 

 

11–20. Задачи на метод наименьших квадратов

В таблице даны измерения некоторой величины. Построить аппроксимирующие функции в виде линейной зависимостиφ (x) = a0 + a1 x , квадратиче-

ской зависимости φ (x)

= a

+ a x + a

2

x2 , гиперболических функций вида

 

a1

 

0

1

 

 

φ (x )= a +

и φ (x )=

1

 

, степенной функции φ (x) = a xa1 и показа-

 

 

 

0

x

a0 + a1x

 

 

0

 

 

 

 

тельной зависимости φ (x) = a ea1x

. Методом наименьших квадратов найти па-

 

 

 

0

 

 

 

 

раметры a0 и a1 (для квадратической еще и a2 ). Для каждой зависимости вы-

числить среднеквадратичное уклонение ε и определить наилучшее приближение. Построить графики всех зависимостей вместе с точками табличной функции. Таблицы значений приведены в вариантах:

11.

 

x

1,0

2,2

3,0

3,4

4,5

12.

y

0,8

2,5

2,4

2,8

3,3

 

 

 

 

 

 

 

x

1,0

1,2

2,0

2,4

3,5

13.

y

0,2

0,5

1,4

1,8

4,1

 

 

 

 

 

 

 

x

1,0

1,5

2,0

2,4

2,6

14.

y

0,3

0,8

1,0

1,8

2,3

 

 

 

 

 

 

 

x

1,0

1,7

2,1

2,4

4,0

15.

y

0,5

1,5

1,6

2,1

2,0

 

 

 

 

 

 

 

x

1,0

1,4

1,8

2,4

3,6

16.

y

0,4

0,5

0,7

1,8

1,9

 

 

 

 

 

 

 

x

1,0

2,0

3,5

4,4

5,0

 

y

0,2

1,3

2,2

2,9

3,4

27

17.

 

x

1,0

1,3

1,8

2,6

3,8

18.

y

0,6

1,9

2,0

2,3

3,2

 

 

 

 

 

 

 

x

1,0

1,8

2,0

2,4

2,9

20.

y

1,0

2,7

3,4

3,6

3,8

 

 

 

 

 

 

 

x

1,0

1,6

2,1

2,4

3,4

 

y

0,7

0,9

1,0

1,8

2,3

Часть II. Вычислительная математика

5. Решение уравнений

Рассмотрим уравнение с одним неизвестным, которое в общем случае можно представить в виде

f (x) = 0 ,

где функция f (x) определена и непрерывна на некотором интервале[a;b].

Необходимо найти корни этого уравнения. При некоторых видах функции f (x) существуют аналитические решения, но в большинстве случаев исполь-

зуются численные методы. Практически все численные итерационные методы используют графический поиск корней уравнения f (x) = 0 , а именно корнем уравнения будет абсцисса точки пересечения графика функцииf (x) с осью

Ox в двумерной декартовой системе координат.

Прежде чем использовать какой-либо численный метод, необходимо провести отделение корней, т. е. определить количество корней уравнения и выделить достаточно малые интервалы, в каждом из которых заключен только один

корень. Условием существования

корня непрерывной функции на интервале

[a;b] является неравенство f (a)

× f (b) < 0 . Для отделения корней применя-

ются разные способы, но самым надежным является качественное построение

графика функции f (x).

 

 

 

 

 

 

 

 

Среди

многочисленных

методов

решения остановимся

методена

хорд.

Пусть

уравнение f

(

x

)

= 0 имеет

один

[

]

, а первая и

 

 

корень на отрезкеa;b

 

вторая производные функции

f (x)

определены, непрерывны и

f ¢¢(x)

сохра-

няет

постоянный

 

 

знак

на

этом

интервале. Без ограничения

общности

f (a)

< 0 ,

f (b) > 0 и

f ¢¢(x) > 0 (функция выпукла вниз). Выбираем непод-

28

вижный конец из условия совпадения знака функции и второй производной– это правый конец интервала b , обозначим его через x* . Тогда левый конец интервала a будет подвижным и станет начальным приближениемx0 решения

уравнения. Проводим отрезок (хорду), соединяющий точки (x0 ; f (x0 )) и

(x* ; f (x* )), который пересекает ось Ox в точке x1 это будет первая итера-

ция. Далее проводим хорду между точками (x1; f (x1 )) и (x* ; f (x* )), которая

пересекает ось Ox в точке x2 это будет вторая итерация и т. д. Геометрически метод представлен на рис. 9.

Рис. 9. Иллюстрация метода хорд

Общая формула итерационной процедуры записывается следующим образом:

 

x - x*

 

 

 

i

 

 

xi+1 = xi - f (xi )f (xi )- f (x*

,)i = 0, 1, 2,...,

 

где начальное приближение x подвижный конец интервала, x*

неподвиж-

0

 

 

 

ный конец интервала. Итерационный процесс продолжается, пока не будет вы-

полнено условие

xi+1 - xi

< ε , где ε заранее заданная точность.

Пример. Найти корни

уравнения 3x + x - 2 = 0

методом хорд с точно-

стью ε =10-2 .

 

 

f (x) = 3x + x - 2. Тогда

f ¢(x) = 3x ln 3 +1 и

Решение.

Обозначим

f ¢¢(x) = 3x ln2 3.

Как видно,

f (x) всюду непрерывная, дифференцируемая

29