15) Виды средних и способы их вычисления.

Средний показатель – показатель в форме средней величины, представляющий собой обобщенную количественную характеристику признака в статистической совокупности в конкретных условиях места и времени. Средняя величина – наиболее распространенная форма статистических показателей, так как выражает типичные черты и дает общую характеристику по одному из варьирующих признаков. Так, например, одной из задач органов государственной статистики является характеристика уровня жизни населения, в том числе в проработке по социальным группам. При этом сравнение дохода каждой семьи без подразделения на подгруппы невозможно, так как количество членов семьи, их возрастной состав, социальный статус разные. Если выполнять сравнение по социальным группам, тогда также не достигнуть объективности, так как численности по группам разные. Поэтому для характеристики уровня жизни используют только средние показатели, такие как средняя годовая заработная плата по категориям и в целом по предприятию, среднедушевой доход с выделением социального положения и другие. Средние показатели, получаемые при таком подходе, являются типичными.

В общем виде формула для расчета среднего показателя выглядит следующим образом:

В зависимости от того, в каком виде представлены исходные данные для расчета средней, различают среднюю арифметическую, среднюю гармоническую и среднюю геометрическую величину.

Средняя арифметическая величина ( х ) – наиболее распространенный вид средней.

Значения признака могут быть представлены в сгруппированном и не сгруппированном виде, вследствие чего и расчет средней арифметической может выполняться с использованием различных формул.

Если значение признака представлено в исходной совокупности без группировки, расчет ведется по формуле простой (невзвешенной) средней

Если исходные значения признака представлены в сгруппированном виде или в виде вариационного ряда, следует использовать формулу средней арифметической взвешенной

Существует следующее правило: использовать среднюю арифметическую

простую (невзвешенную) можно только тогда, когда точно установлено отсут-

ствие весов или их равенство.

В случае интервальных рядов распределения при расчете средней вели-

чины переходят к серединам интервалов.

16) Свойства средней арифметической

1. Сумма отклонений индивидуальных значений признака от средней

арифметической равна нулю.

То же справедливо и для средней взвешенной величины.

2. Если каждое индивидуальное значение признака умножить или разделить на постоянное число, то и средняя величина увеличится или уменьшится во столько же раз.

Вследствие этого свойства индивидуальные значения признака можно сократить в С раз, произвести расчет средней и результат умножить на С.

3. Если к каждому индивидуальному значению признака прибавить или

из каждого значения вычесть постоянное число, то средняя величина увеличится или уменьшится на это же число. Доказательство выполняется аналогично. Это свойство можно использовать при расчете средней величины из многозначных и слабоварьирующих значений признака, например роста группы лиц: 4. Если все веса средней уменьшить или увеличить в а раз, то средняя

арифметическая не изменится.

5. Сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической меньше, чем от любого другого числа.

Следующий вид средней – средняя гармоническая. Применяется в случае, если варианты осредняемого признака (хi) используются для расчета знаменателя при определении средней. Например, имеются данные о производительности труда рабочих n-го цеха

(табл.12).

Средняя геометрическая величина используется в основном для расчета среднего значения в рядах динамики.

Соотношение между видами средней называется правилом мажорантности средних

17) Наряду с рассмотренными средними степенными рассчитываются так называемые структурные средние – мода и медиана.

Мода (Мо) – значение изучаемого признака, повторяющееся с наибольшей частой (или наиболее часто встречающееся значение данного признака).

Медиана (Ме) – значение признака, приходящееся на середину ранжированной (упорядоченной) совокупности, т.е. делящее совокупность на две равные части.

Главное свойство медианы – сумма абсолютных отклонений значений признака от медианы меньше, чем от любой другой величины

В интервальных рядах распределения мода и медиана рассчитываются по формулам либо определяются графическим способом. При этом, прежде всего, определяется интервал, который содержит модальное и медианное значения признака.

Модальный интервал в случае интервального распределения с равными интервалами определяется по наибольшей частоте; с неравными интервалами – по наибольшей плотности.

Медианным является интервал, накопленная частота которого составляет

более половины суммы частот (≥0,5 Σ f ).

Графически мода определяется по гистограмме распределения, а медиана – по кумуляте.

Определение моды графическим методом

Суть метода: строится гистограмма распределения (рис.10), после чего выбирается самый высокий прямоугольник, т.е. имеющий наибольшую частоту и являющийся модальным. В прямоугольнике выполняются следующие построения: правую вершину модального прямоугольника соединяют с правым верхним углом предыдущего прямоугольника. А левую вершину модального прямоугольника – с левым верхним углом последующего прямоугольника. Из точки пересечения прямых опускают перпендикуляр на ось абсцисс. Точка пересечения перпендикуляра с осью абсцисс и будет модой.

Графический метод определения медианы

Для расчета медианы необходимо построить кумуляту (кривую накопленных частот).

Затем из точки на шкале накопленных частот (ордината), соответствующей половине суммы частот (или 50%, если используется показатель частости), проводится прямая, параллельная оси абсцисс, до пересечения с кумулятой. Из точки на кумуляте опускается перпендикуляр на ось абсцисс. Точка пересечения перпендикуляра с осью абсцисс и будет являться медианой.