3.7. Циркуляция вектора индукции магнитного поля. Закон полного тока

Интеграл называетсяциркуляцией вектора индукции магнитного поля по замкнутому контуру.

Для определения магнитной индукции с симметричным расположением витков с током вычисляется интеграл по замкнутому контуру вектора индукции магнитного поля.

Найдем интеграл для контураl произвольной формы, лежащего в плоскости, перпендикулярной к бесконечному линейному проводнику с током I (рис. 3.7а)

,

где - проекция векторана направление обхода проводника с током на участке контура.

а б

Рис. 3.7

Из рис. 3.7а следует , где, т.к. угол- бесконечно малый.

Тогда

.

. (3.13)

Результат интегрирования не зависит от формы контура. Например, для контура в виде окружности радиусом(рис. 3.7б) циркуляция вектора индукции магнитного поля прямолинейного проводника с токомI равна

.

Пусть теперь произвольный контур l охватывает проводников с токами различного направления (рис. 3.8), В этом случае,,

Рис. 3.8

, (3.14)

где - проекция вектора индукции магнитного поля от-го проводника с током на участке контура,- полный ток, охватываемый контуромl.

Ток считается положительным, если направление линий индукции его магнитного поля совпадает с направлением обхода контура и отрицательным, если не совпадает. В случае, указанном на рис. 3.8

.

Соотношение (3.14) называют законом полного тока.

Если контур l охватывает N проводников с одинаковым током I, тогда в соответствии с равенствами (3.13)

. (3.15)

Для. самостоятельного изучения

3.8. Магнитное поле длинного соленоида

Равенство (3.15) можно применить для определения индукции магнитного поля в центре длинного соленоида, когда его длина L>>R (рис 3.6).

Пусть - число витков на участкесоленоида (рис 3.9), по которому течет токI. Для вычисления индукции магнитного поля внутри соленоида запишем закон полного тока для прямоугольного замкнутого контура АВСDА, используя соотношение (3.15) (3.16)

Рис. 3.9

Интеграл можно представить в виде суммы интегралов по участкам контураABCDA

Первый интеграл в этой сумме равен Вl_AB, где l_АВ – длина участка АВ контура. Второй и четвертый интегралы равны нулю, так как вектор перпендикулярен векторам. Третий интеграл можно считать равным нулю, поскольку внешнее магнитное поле длинного соленоида практически отсутствует. Тогда

. (3.17)

Из сравнения равенств (3.16), (3.17) следует, что

.

Решая последнее уравнение, относительно получим:

, (3.18)

где - число витков на единице длины соленоида.

Следует отметить, что величина индукции магнитного поля не зависит от положения точки внутри соленоида, так как отрезок АВ не обязательно должен лежать на оси соленоида. Поле внутри длинного соленоида однородно, не зависит от формы витков, а направление его индукции параллельно оси соленоида.