ρ0 |
1 |
|
=τ(λ)− |
1 |
|
p0 |
|
γ |
= τ(λ)− |
γ |
||||
= τ(M ) |
γ −1 |
|
γ −1 |
, |
=τ(M ) |
γ −1 |
|
γ −1 |
. |
|||||
ρ |
p |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
На основании приведенных соотношений для изоэнтропического течения за-
пишем основные формулы, связывающие параметры потока газа в двух сечениях, в
которых известны либо числа Маха (М), либо коэффициенты скорости (λ). |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
T1 |
|
|
|
= |
τ(M 2 ) = |
τ(λ1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
T |
|
τ(M |
1 |
) |
|
τ(λ |
2 |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
a1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
τ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
= τ(M 2 ) |
|
= |
|
(λ1) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
a2 |
|
|
τ(M1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
τ(λ2 ) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||
|
ρ1 |
|
|
τ(M 2 ) |
|
γ −1 |
|
|
|
|
τ(λ1) |
γ −1 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
= |
|
|
. |
(4.8) |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
= |
τ(M1) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
ρ2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
τ(λ2 ) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
p1 |
|
|
|
τ(M 2 ) |
|
|
γ |
|
|
|
|
τ(λ1 ) |
|
|
γ |
|
|||||||||||||
|
|
|
γ −1 |
|
|
|
|
γ −1 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
= |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
p2 |
|
|
τ(M1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
τ(λ2 ) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
v1 = |
|
|
τ(M 2 ) |
2 |
= λ1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
M1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
v2 |
|
|
|
|
|
τ(M1 ) |
|
|
|
|
λ2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
M 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
4.3 Поток в канале переменного сечения.
Рассмотрим влияние изменения формы сечения на поток газа в канале. Для
этого в уравнении (1.3) оставим только фактор изменения площади |
|
|
|
|||||||||
|
|
(M 2 −1) |
dv |
= − |
dF |
|
|
|
|
(4.9). |
||
v |
F |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Из этого уравнения видно, что при M <1 изменение скорости |
dv > 0 |
если |
dF |
< 0 . |
||||||||
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
F |
|
Т.е. ускорение потока здесь достигается только сужением канала. При M >1 рост |
||||||||||||
скорости |
dv |
> 0 будет достигаться, если площадь канала |
dF |
|
> 0 расширяется. |
|||||||
|
F |
|
||||||||||
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
59
При М=1 и dF=0. Таким образом, для разгона потока из состояния при M <1 до состояния при M >1 необходимо сначала сужать канал до значения М=1, а затем расширять его при M >1.
Закон изменения площади следует из сохранения расхода ρ1v1F1 = ρvF . От-
сюда, обозначив через F* - площадь, где М=1, получим[3]
F |
|
2 |
|
− |
γ +1 |
|
|
γ +1 |
|
|
|
2(γ −1) |
|
− |
|
||||||
* |
= q(M ) = |
|
|
|
|
M τ(M ) |
|
2(γ −1) . |
(4.10) |
|
|
|
|
|
|
||||||
F |
|
γ +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Уравнение (4.10) связывает форму канала с числом Маха потока.
Вместе с набором соотношений (4.8) она дает полную информацию о потоке в канале. Зависимость (4.10) показана на рис.4.1. Она определяет канал, который может обеспечить разгон потока до сверхзвуковых скоростей. Сопло такой формы называют соплом Лаваля. Левая ветвь на рисунке соответствует дозвуковому тече-
нию, правая - сверхзвуковому.
Рис.4.1
Из рисунка видно, что одной и той же площади сечения канала может соответ-
ствовать два значения чисел Маха. Это означает, что при сужении канала поток,
достигнув скорости звука, может снова иметь решение, соответствующее левой
60
ветви, если не будут выполнены дополнительные условия. Для пояснения сказан-
ного рассмотрим поведение давления вдоль оси канала, у которого площадь меня-
ется как показано на рис.4.1. Пусть течение из канала происходит в затопленное пространство с давлением p′. Обозначим давление на выходе из канала при дви-
′ |
(рис.4.2). |
жении по левой ветви (рис.4.1) через p2 , по правой - через p2 |
Рис.4.2
Очевидно, что при разгоне потока до стационарного состояния, решение бу-
дет всюду дозвуковым, если |
p′ |
≥ |
p2 |
|
. Течение станет сверхзвуковым при |
p′ |
≤ |
p2′ |
и |
|||||
p |
p |
p |
p |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
* |
|
* |
|
|
|
|
|
|
* |
|
* |
|
|
появится внутренний скачок при |
p2 |
|
> |
p′ |
> |
p2′ |
. |
|
|
|
|
|||
p |
|
p |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
||||
|
|
|
* |
|
|
* |
|
* |
|
|
|
|
|
|
4.4 Движение с подогревом газа.
Предположим, что адиабатичность одномерного стационарного потока идеального газа нарушается тем, что в некотором тонком по ширине слое к газу подводится извне тепло. Это изменяет температуру газа . (T1) и температуру торможения газа
(T01 ) в потоке на величину,
61
cоответственно, ∆T =T2 −T1 и ∆T0 = T02 −T01 (рис.4.3)
Рис.4.3
На участке за сечением подогрева устанавливается адиабатическое течение.
Рассмотрим изменение параметров потока газа при переходе через слой подогрева.
В этом слое можно принять: площадь F=const, выполняются законы сохранения массы и количества движения. В этом случае, так как
ρv = γ γppvρ = γp Ma = γpMRT
из закона сохранения массы
γpMRT = const .
Из закона сохранения количества движения
2 |
|
|
ρv2 |
2 |
|
p + ρv |
|
+γ |
|
|
= p(1 +γM ) = const . |
|
|||||
= p 1 |
γp |
|
|||
|
|
|
|
|
|
Деля (4.12) на (4.11) получим
1+γM 2 |
= const = |
1+γM 2 |
1 T |
2 T . |
|
1 |
|
2 |
M1 |
|
M 2 |
С помощью ∆T из (4.13) имеем уравнение для определения M2
(4.11)
(4.12)
(4.13)
62
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
+γM12 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
γM |
2 |
− |
|
|
|
|
M |
|
+1 = 0 . |
(4.14) |
||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
M12 |
|
1+ |
∆T |
|
2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь ∆T = |
T2 − T1 |
. Определив значение M 2 |
|
из уравнения (4.12) находим p2 : |
|||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||
T1 |
T1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
2 |
|
1 |
+γM 2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
1 |
. |
|
|
|
(4.15) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
1 |
+γM 2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
Скорость звука a2 = const T2 , отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v2 = M 2 a2 . |
|
|
|
|
(4.16) |
||||||||
Значение ρ2 |
определяется из уравнения Клапейрона |
ρ2 |
= |
p2T1 |
. Далее расчет |
||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ρ1 |
p1T2 |
||
параметров потока проводится по известным соотношениям адиабатического изо-
энтропического течения в канале Оценим влияние нагрева на число Маха. Обозна-
чим в (4.3) |
Φ(M ) = |
|
M |
|
|
, тогда Φ(M 2 ) = Φ(M1 ) |
T2 |
, |
|
|
||||
|
+ γM 2 |
|
|
|||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
T1 |
|
|
|
|||||
|
dΦ(M ) |
dM |
= |
(1 − M 2 )dM |
= |
Φ(M |
1 |
) |
dT |
. |
(4.17) |
|||
|
dM |
(1 + γM 2 ) |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
2 T T |
2 |
2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
Из (4.17) видно, что при dT2 > 0 и M <1 |
приращение dM >0 и, соответственно, |
|||||||||||||
при M >1 - dM <0. Т.е. при дозвуковых скоростях потока подвод тепла приводит к увеличению числа Маха, при сверхзвуковых скоростях - к уменьшению числа М.
63
Теория идеального прямоточного реактивного двигателя (ВРД).
p1 |
p 1 |
v1
|
d |
|
|
|
|
|
|
c b |
|
|
|
|
|
a |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис.4.4 |
|
|
|
|
|
|
||
В идеальном прямоточном ВРД воздух перед подводом тепла адиабатически |
|||||||||||||||||
тормозится, затем к нему подводится тепло так, |
что C pTob = C pToc + q , pob = poc . |
||||||||||||||||
После этого газ разгоняется до p = pa |
= pd . В двигателе в сечении "c" температу- |
||||||||||||||||
ра торможения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T0 =T0d , p0 = p0d = |
|
|
pd |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
(1 − Λ2d )γ γ −1 |
|
|
|||||||||
, где Λ d = |
|
v |
|
= |
v 2 |
, так как vmax = |
|
1 |
|
. |
|||||||
|
|
d |
d |
2 C p T0 d |
|||||||||||||
|
|
vmax |
|
2 C p T0 d |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
В сечении "b" и на выходе из двигателя |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
T0 =T0b , |
p0b = |
|
|
pd |
|
, |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
γ |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1−Λ2 ) |
γ −1 |
|
|||||
где Λ = |
va |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
vmax |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А так как p0b = p0c = p0d , то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
pd |
|
= |
pd |
|
или Λ = Λd . |
||||||
|
|
|
|
|
|
γ |
|
|
γ |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
(1 − Λ2d ) |
γ −1 |
(1 − Λ2 ) γ −1 |
|
|
|
|
|
|
|||
64