характеристик. При этом необходимо действовать с поправкой на различие соот-
ношений для плоского и одномерного нестационарного течений. Замеченное сход-
ство между характеристическими соотношениями в плоском сверхзвуковом тече-
нии и в одномерном нестационарном течении позволяет использовать введенные ранее понятия. А именно: волны сжатия и разрежения, простая волна, центриро-
ванная волна и т.д.
6.3 Обтекание сверхзвуковым равномерным потоком выпуклого угла
(течение Прандтля - Майера)
Использование характеристических соотношений позволяет без труда опреде-
лять течение около тупого угла, показанного на рис 6.3
рис.6.3
Однако в ряде случаев широко используется решение этой задачи, полученное другим способом. Рассмотрим обтекание угла AOB в полярной системе координат
82
(r,ε) с центром в точке "О". Угол ε - между характеристикой и прямой ОС, вектор r
направлен по характеристике, выходящей из точки "О". В этой системе для потен-
циала ϕ можно записать
∂ϕ |
= vr (ε), |
∂ϕ |
= |
∂ϕ |
= vs (ε) |
(6.12) |
∂r |
|
r∂ε |
|
∂s |
|
|
На характеристике (вдоль r), так как образуется простая волна, параметры потока
постоянны. Кроме того, скорость по нормали к характеристике равна скорости |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
звука. Поэтому с учетом (6.12) можем записать: vs2 = γp |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ρ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂v |
r = |
|
∂ 2ϕ |
= |
∂ 2ϕ |
= |
∂ |
∂ϕ |
|
∂ |
|
(rvs ) = vs , |
(6.13) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂r∂ε |
∂ε∂r |
|
|
|
|
∂r |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ε |
|
|
|
∂r ∂ε |
|
|
|
|||||||||||
отсюда |
p |
= |
1 |
dv |
r |
|
2 |
. Подставляя полученные выражения в уравнение Бернулли |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
ρ |
γ |
|
dε |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
v 2 |
+ v 2 |
|
|
|
|
|
γp |
|
|
|
|
|
v 2 |
|
|
|
|
γ |
+1 dv |
r |
|
2 |
|
|
|
|
||||||||
|
r |
s |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
max |
|
получим |
γ |
|
|
|
|
|
+ vr2 = vmax2 . |
|
|||||||||
|
|
2 |
|
|
(γ −1)ρ |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
dε |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
После интегрирования это уравнение дает решение |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
γ −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.14) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
vr = vmax sin |
γ +1 |
ε* , |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где ε* = ε +ε0 , ε0 - постоянная интегрирования. Остальные параметры согласно
(6.22) и из условия изоэнтропийности запишутся в виде
|
γ −1 |
|
γ −1 |
|
|
vs = |
|
|
|
|
(6.15) |
γ +1 |
vmax cos |
γ +1 |
ε* |
||
|
|
|
|
83
|
2 |
|
|
|
|
|
|
γ |
|
|||
|
|
|
|
γ −1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
2 |
γ −1 |
|
||||||||
p = p0 |
|
|
cos |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
γ +1 |
ε* |
|
|||||||
|
γ +1 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
(6.16) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
|
|
|
γ −1 |
|
|
|
|
|||
|
|
2 |
γ −1 |
|
||||||||
ρ = ρ0 |
|
|
cos |
|
|
|
|
|||||
γ +1 |
|
|
γ +1 |
ε* |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
где p0 , ρ0 - соответственно давление и плотность торможения.
Получим уравнение линии тока. Расход Q = ρvs r = const . Подставим сюда vs и
ρ . В результате для линии тока |
|
|
|
|
|
|
|
r = |
|
|
const |
|
. |
(6.17) |
|
|
|
|
|
γ +1 |
|||
|
|
|
γ −1 |
|
γ −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
cos |
γ +1 |
ε* |
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
Описанный подход применим для построения несимметричного сопла гиперзвуко-
вого летательного аппарата. Пусть на входе в сопло имеем сверхзвуковой поток с числом Маха M 0 (рис.6.4). Требуется разогнать поток до скорости M1 при сохра-
нении направления скорости.
A
B
M0
o |
θ/2 |
M1 |
|
|
A1 B1
Рис. 6.4
84
Из (6.9) с очевидностью следует, что для разгона потока от числа M = M0 до числа
M= M1 можно развернуть поток в течении Прандтля - Майера на некоторый угол
θ. Но, учитывая, что результирующий поток должен сохранить направление на-
чального, естественно сначала расширить течение разворотом на угол θ
2, около
точки “О” и затем расширить разворотом на угол θ
2 вокруг точки “В” уже в об-
ратную сторону. При этом, уравнение дуги AB определим по формуле (6.17). Фор-
ма дуги A1B1 определяется аналогично.
Литература
1.Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. -М.: Наука, 1986.
2.Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидродинамика - М.: ФМЛ, 1963, -Т. 1, 2,
3.Седов Л.И. Механика сплошной среды -М.: Наука, 1983.
4.Абрамович Г.Н. Прикладная газовая динамика. -М.: Наука, 1969.
5.Баженова Т.В., Гвоздева Л.Г. Нестационарные взаимодействия ударных волн -
М.: Наука, 1977.
6.Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики -М.: Наука, 1973.
Глава 7 ГИПЕРЗВУКОВЫЕ ТЕЧЕНИЯ Теория гиперзвуковых течений, получившая развитие в шестидесятые годы в
связи с созданием ракетной техники, испытывает в настоящее время новый подъем в связи с ростом интереса к разработкам воздушно - космических летательных ап-
паратов.
85
Течение газа называют гиперзвуковым, если в большей части рассматриваемой области течения скорость потока значительно превышает скорость звука:
M 2 >> 1 . Особенность этого течения состоит в том, что здесь поток необходимо рассматривать в двух аспектах: в кинематическом и термодинамическом. Так как скорость звука в газе отражает скорость теплового движения молекул, то условие
M 2 >> 1 означает, что кинетическая энергия элементарного объема выше тепло-
вой. Значит, динамические свойства газа при гиперзвуковых скоростях не должны сильно отличаться от их свойств при движении с обычными сверхзвуковыми ско-
ростями. Это позволяет применить асимптотические методы, которые позволят упростить решение ряда задач прикладного характера. С другой стороны, в гипер-
звуковом течении начинают проявляться многие нелинейные эффекты термодина-
мического свойства [1]. Действительно, если оценить температуру торможения в
совершенном газе при гиперзвуковой скорости T0 = T∞ (1 + γ 2−1 M 2 ) , то полу-
чим значение в сотни раз превышающие нормальную температуру. Это приведет уже к важным структурным изменениям в газе: возбуждению степеней свободы молекул, диссоциации, ионизации, излучению и другим процессам. Пренебреже-
ние этими процессами может привести к большим ошибкам при определении тер-
модинамических параметров.
7.1 Предельные формулы совершенного газа при M→∞.
Изоэнтропические формулы.
При больших значениях чисел Маха (М→∞ ) можем записать: 86
τ ( M ) = 1 + |
γ − 1 |
M 2 |
|
γ − 1 |
M 2 . |
(7.1) |
|
2 |
2 |
||||||
|
|
|
|
|
Отсюда, как следствие
|
|
|
|
|
|
|
τ(M |
|
) |
γ |
|
|
|
|
2γ |
|
|
|
|
|
|
p / p |
|
1 |
γ −1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|||||||
|
|
= |
(M |
|
/ M )γ −1 ; |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
ρ / ρ = ( p / p ) γ |
||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
τ(M ) |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
τ(M |
1 |
) 1/ 2 |
M |
|
/ M ; T /T = a2 / a |
2 |
M 2 |
/ M 2 |
|||||||||
a / a = |
|
|
|
|
1 |
||||||||||||||
1 |
|
τ(M ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Формулу для скорости получим из уравнения Бернулли:. |
|
||||||||||||||||||
Откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
vdv = − |
2 |
|
ada . |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
γ − |
1 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2
(M1 / M )γ −1
(7.2)
(7.3)
А так как Ma = v , то dM / M + da / a = dv / v . После подстановки da/a из последнего соотношения в (7.3) и интегрирования придем к выражению
|
|
v |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= exp − |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
v |
|
γ |
− |
1 |
|
|
M |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
M |
2 |
|
2 |
|
|
|
||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||
Учитывая, что существует ряд: exp(−x) =1− x + x2 / 2 +O(x3 ) , |
окончательно запи- |
||||||||||||||||||
шем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
=1+ |
1 |
|
1 |
|
|
|
2 − |
|
1 |
|
|
|
+ O( 1 4 ) |
(7.4) |
||
v1 |
|
|
M |
|
|
2 |
|
||||||||||||
|
|
|
γ −1 |
|
|
|
M |
1 |
|
M |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Течение около выпуклого угла.
Рассмотрим предельный переход в формулах (6.7) главы 6. Для любых t |
||||||||
(1< t ≤ ∞) можем записать ряд arctg(t) = π / 2 − |
1 |
+ |
1 |
+ O( |
1 |
) . Подставляя этот ряд |
||
|
t |
|
3t 3 |
|
||||
|
|
|
|
t5 |
||||
в формулу для H(M) получим
87
θ = − M1 γ 2−1 + C .
Отсюда
∆θ =θ −θ1 = γ 2−1 1M1 − 1M ,
или |
|
|
|
|
|
|
|
M1 |
=1− |
γ −1 |
∆θ M1 . |
(7.5) |
|
|
M |
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
||
Соотношение (7.5) вместе с (7.2) и (7.4) определит все параметры потока после разворота.
Течение за косым скачком уплотнения.
При определении течения за скачком в совершенном газе обратимся к формулам главы 3. Полагая, что при гиперзвуковом обтекании тел конечной толщины
M n2 = M 2 sin 2 β >>1, где β - угол скачка к набегающему потоку, получим
∆ρ |
|
|
2 |
|
|
γ +1 1 |
|
|
|
∆p |
|
|
|
|
2γ |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ρ |
|
= |
γ −1 |
+ γ −1 M |
|
|
p |
= |
γ +1M n |
, |
|
||||||||||||||||||||
1 |
1 |
2 , |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
∆T |
= |
2(γ −1)γ M 2 , |
|
∆a |
= |
2γ (γ −1) |
M |
|
, |
(7.6) |
|||||||||||||||||||||
T |
|
|
|
(γ +1)2 |
n |
|
a |
|
|
|
|
γ +1 |
|
|
|
|
n |
|
|
||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
γ +1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
(γ +1)γ −1 |
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
02 |
|
|
|
γ −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
γ |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
p01 |
|
|
|
|
γ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
(γ −1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
γ −1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
γ −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Из последних соотношений можно сделать еще один важный вывод. Если на-
блюдаем обтекание двух тонких тел, у которых M n ≈ M τ , где τ толщина тела, то
их обтекание будет подобным при M1τ1 = M 2τ2 .
88