Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
А.П. Шашкин. Основы прикладной газодинамики. Моделирование газодинамических течений.pdf
Скачиваний:
52
Добавлен:
08.08.2013
Размер:
687.6 Кб
Скачать

11.Колесников Г.А. Аэродинамика летательных аппаратов. -М.: Машиностроение, 1993.

12.Бондарев Е.Н., Дубов В.Г., Рыжов Ю.А. и др. Аэрогидромехани-ка. -М.: Машиностроение, 1993.

13.Фарлоу С. Уравнения с частными производными для научных работников и инженеров.-М.: Мир, 1985.

14.Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики.-М.:

Наука, 1973.

Глава 3. РАЗРЫВЫ В СОВЕРШЕННОМ ГАЗЕ.

3.1 Поверхности разрыва.

Уравнения газовой динамики нелинейные и допускают существование разрывных решений. В природе, действительно, существуют поверхности на границе двух различных сред, так называемые контактные разрывы и ударные волны, возник-

шие как следствие накопления малых возмущений. На самом деле толщина разры-

вов конечна и для обычных условий движения газа составляет 1 - 2 свободных пробега молекул, где происходит сложный неравновесный процесс. Однако, часто эта толщина ничтожно мала по отношению к характерному размеру задачи и мо-

жет разрыв быть моделирован линией. Существующую связь между параметрами потока по разные стороны разрыва удобно пояснить на примере одномерного те-

чения в прямоугольном канале, по которому равномерно движется разрыв. Для удобства рассмотрим течение в системе координат, связанной с движущимся раз-

рывом. Течение считаем установившимся и невязким. Пусть по одну сторону раз42

рыва скорость (v), плотность (ρ), давление (p) обозначены индексом "1", по другую

- индексом "2". Разность значений какой - либо величины с обеих сторон поверх-

ности разрыва будем обозначать посредством квадратных скобок. Тогда, из зако-

нов сохранения в интегральной форме на разрыве для уравнения сохранения мас-

сы, сохранения количества движения и энергии имеем:

[ρv] = ρ1v1 ρ2v2 = 0,

 

[ p + ρv2 ] = 0,

(3.1)

[ρv(

v2

+ h)] = 0,

 

2

 

 

 

 

где h- энтальпия в потоке газа.

В случае контактного разрыва отсутствует перетекание через границу [v]. То-

гда первое и последнее уравнения в (3.1) удовлетворяется автоматически, второе уравнение удовлетворяется при [p] = 0. При этом [ρ] и [h] произвольны.

В более общей форме условия на контактном разрыве имеют вид:

[v]=0, [ρ]=0. (3.2)

Справедливость этой формы проверяется прямой подстановкой в (3.1).

При [v] 0 на границе имеем разрыв с рядом газодинамических свойств, кото-

рые позволяют определить его как скачок уплотнения или ударная волна. Разрыв,

перпендикулярный к направлению потока, называется прямым скачком.

43

3.2 Прямой скачок уплотнения.

Рассмотрим течение через элемент границы прямого скачка (рис.3.1).

Рис.3.1

В окрестности границы на основании (3.1) справедливы уравнения

 

 

 

 

a)ρ1v1 = ρ2v2 ,

 

 

 

 

 

 

b)p + ρ v2

= p

2

+ ρ

v2

,

 

 

 

 

 

1

1

1

 

 

 

2

2

 

 

 

 

v2

 

 

γ

 

 

 

p

 

v2

 

 

γ

 

 

p

2

 

c)

1

+

 

 

 

 

 

1

=

2

+

 

 

 

 

 

.

 

γ 1 ρ

2

γ 1

ρ

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Соотношение Рэнкина - Гюгонио. Оно устанавливает связь перепада давления и плотности на скачке. Исключим из уравнений скорость. Для этого из уравнения b)

с учетом a) [ p] = −ρ1v1[v]. Умножим левую и правую части на вспомогательное выражение:

v2 + v1

 

v2

 

1

 

1

 

1

 

1

 

1

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

+

 

 

=

 

+

 

 

. Отсюда [ p]

 

 

+

 

 

 

= −[v

 

]. Величину [v

 

] ис-

ρ v

ρ v

ρ

1

p

ρ

2

ρ

1

ρ

2

 

 

1 1

 

1 1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ключим с помощью уравнения c). Окончательно имеем:

p2

 

(γ + 1)

ρ2

 

(γ 1)

 

 

(γ

+ 1)

p2

(γ 1)

 

 

ρ1

ρ2

 

p1

 

=

 

 

 

 

или

=

 

 

 

 

.

(3.3).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p1

 

(γ + 1)

(γ

1)

ρ2

 

 

ρ1

 

(γ

+ 1) (γ 1)

p2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ρ1

 

p1

 

 

 

 

 

 

44

Эти соотношения называются соотношениями Рэнкина - Гюгонио. К соотно-

шениям Рэнкина - Гюгонио относят также

[ p]

= γ

µp

, где

µf =

f1 + f2

(3.4)

[ρ]

µρ

2

 

 

 

 

Соотношения (3.3) , (3.4) называют еще ударной адиабатой. Она отличается от

адиабаты Пуассона,

 

p2

 

 

ρ2

γ

 

 

 

 

 

(3.5)

p

ρ

 

 

=

.

 

1

п

 

1

 

 

имеющей место при изоэнтропическом течении Сравнение этих кривых показано на рис.3.2. Из соотношений (3.3) и рис.3.2 видно, что ударная адиабата имеет

асимптоту при

ρ2

=

γ

+ 1

, идет круче адиабаты Пуассона, и совпадает с послед-

ρ1

γ

1

 

 

 

ней при ρ2 =1.

ρ1

Рис.3.2

45

Как следует из рисунка, при ρ2 <1 ударная адиабата проходит ниже адиабаты

ρ1

Пуассона и пересекает ось ординат в точке

 

0,γ

1

 

 

 

 

 

 

, это означает существование

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

γ

+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

скачка разрежения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

γ

 

 

S S

 

 

 

 

 

 

 

p2

 

 

 

 

 

ρ2

 

 

 

 

 

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

Из уравнений термодинамики на скачке

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

v

, откуда

 

 

 

p

 

 

ρ

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ρ1

 

γ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p2

 

 

 

 

 

 

,

 

 

(3.6),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S2 S1 = Cv ln p

 

 

ρ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

или, если воспользоваться соотношением (2.3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p2

 

 

 

 

p2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S2 S1 = Cv

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln

p /

 

 

p

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

п

 

 

 

 

 

Из последнего соотношения и рис.3.2 непосредственно следует, что при

ρ2

>1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ρ1

[S] > 0, а при

ρ2

<1 [S] < 0. Но последнее противоречит второму закону термоди-

 

 

ρ1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

намики, следовательно, скачки разрежения считаются невозможными. Т.е. при пе-

реходе через ударную волну

 

ρ2

1 .

……………………(3.7).

 

 

 

ρ1

 

Определим изменение скорости при переходе через скачок. Из уравнения со-

хранения массы (a)) и (3.7) получим

 

v2 v1 .

(3.8).

46

Из уравнения сохранения количества движения (b)) и a) имеем

 

p

 

 

[v] = −

.

(3.9).

 

 

ρv

 

Выразим величину

a2

 

=

 

γ p

=

γ +1

a2

v2

,

(3.10)

 

 

 

 

 

 

 

γ

1

γ 1 ρ

 

 

 

2(γ 1) *

2

 

 

где a* - критическая скорость звука, определяемая из уравнения Бернулли при ус-

ловии, когда скорость потока совпадает со скоростью звука. С помощью (3.10) ис-

ключим из (3.9) величину

p

и учитывая, что на скачке [v] 0, имеем очень важное

ρ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

соотношение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v1v2

 

=1 или λ λ

2

=1,

(3.11)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a*2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где λ =

v

. Отсюда, если λ1 >1, то λ2

<1.

 

 

 

 

 

 

 

 

a*

 

 

 

 

 

 

 

 

Из уравнения Бернулли, получим связь относительной скорости λ и числа Маха М

λ =

γ +1

 

 

M

=

γ +1

M

,

(3.12)

 

2

1 +

 

γ 1

M 2

2

τ (M )

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где использовано обозначение τ (M )

= 1 +

γ 1

M 2 . Согласно (3.11) и (3.12)

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

λ1λ2 =

γ + 1

M 1

 

 

M 2

= 1 ,

 

 

 

2

τ (M 1 )

τ (M 2 )

 

 

 

 

 

 

 

 

откуда число Маха за скачком определяется как

47

M 2 =

τ (M 1 )

.

(3.13)

γM 12

γ 1

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При переходе через скачок число Маха убывает. Причем, как следует из (3.13), при

M1 1 M 2 1; при M 1 →∞ M 2

γ 1 .

 

2γ

Изменение плотности при переходе через скачок определим, используя фор-

мулы а), (3.6), (3.12)

ρ

 

ρ

2

ρ

1

 

v

1

 

v 2

1 = λ12 1 =

 

 

 

M 2

1

 

 

 

 

 

=

 

 

=

 

1 =

1

 

 

 

1

 

 

 

 

.

(3.14)

ρ1

 

 

ρ1

 

v2

a*2

γ + 1

 

γ

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

+

 

2

 

(M 1

1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Изменение давления при переходе через скачок определим используя формулы а), b), (3.11),(3.12)

p

 

p

2

p

 

ρ v2

ρ

2

v2

 

ρ v

2

 

 

v

2

 

2

 

 

1

 

 

2γ

2

 

 

 

 

1

 

1 1

 

2

 

1 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

=

 

 

 

=

 

 

 

 

=

 

 

1

 

 

=γM1

1

 

 

==

 

(M1

1) . (3.15)

 

 

p

 

p

 

 

p

 

v

λ2

γ +1

1

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

Изменение температуры при переходе через скачок определяется из уравне-

ния Клапейрона, (3.14) и (3.15)

 

T

 

T

 

 

p

 

ρ

 

 

 

p

+1

 

 

 

2(γ 1)

 

 

 

 

2

 

2

1

 

 

p

 

 

 

 

(M 12

1)(1 + γM 12 ) . (3.16)

.

 

=

 

 

1 =

 

 

1 =

 

1

 

 

1 =

 

 

T1

 

T1

p1 ρ2

 

ρ

+1

(γ

+1)2 M 12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ρ1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Изменение скорости звука на скачке определяется соотношением

a

=

a2

1 =

T2

1 =

T

+1 1 .

(3.17)

a

1

 

a

1

 

T

 

T

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

 

48

Соседние файлы в предмете Процессы и аппараты химических производств