divv |
|
= 0 . |
(2.7) |
|
Этот результат значительно упрощает решение многих задач газодинамики.
2.3 Обтекание тонких тел потенциальным потоком
Рассмотрим установившееся баротропное безвихревое течение газа в декартовой системе координат (x,y,z). Из баротропности следует, что
|
|
|
|
|
|
|
|
p = dp |
ρ = a 2 ρ , |
(2.8) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dρ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где a2 - квадрат скорости звука. Течение безвихревое: |
|
= 0, т.е. rotv=0 или |
|
|||||||||||||||||
Ω |
|
|||||||||||||||||||
|
∂v |
z |
− |
∂v y |
= 0, |
∂v |
z |
− |
∂v |
x |
= |
0, |
∂v |
x |
− |
∂v y |
= 0, |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
∂y |
∂z |
∂x |
∂z |
|
|
|
∂x |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|||||||||||
следовательно, существует дважды непрерывно дифференцируемая функция - по-
тенциал скорости ϕ такой, что
∂ϕ |
= vx ;∂ϕ |
= vy ;∂ϕ |
= vz . |
(2.9) |
∂x |
∂y |
∂z |
|
|
Выразим уравнения сохранения массы и количества движения через потенциал скорости. С этой целью умножим уравнение количества движения (в векторной форме) скалярно на вектор v , воспользуемся условием баротропности и исключим
ρ из уравнения неразрывности. Введем вектор, модуль которого равен числу Ма-
ха М с координатами
M x = |
v |
x |
, M y = |
vy |
;M z = |
v |
z |
. |
|
|
a |
|
|
||||
|
a |
|
a |
|||||
В результате получим:
38
(1− M 2 ) |
∂ 2ϕ −2M |
M |
|
∂ 2ϕ |
+(1− M 2 ) ∂ 2ϕ |
−2M |
M |
∂ 2ϕ |
+ |
||||||
|
|
z ∂x∂z |
|||||||||||||
x |
∂x2 |
x |
|
|
y ∂x∂y |
y |
∂y2 |
x |
|
(2.10) |
|||||
|
|
∂ 2ϕ |
|
|
|
|
|
∂ 2ϕ |
|
|
|
|
|
||
+(1− M 2 ) |
−2M |
|
M |
= 0 |
|
|
|
|
|
||||||
z |
∂z2 |
|
|
y |
|
|
z ∂y∂z |
|
|
|
|
|
|
||
В случае, если число Маха мало то, с точностью до ε = M2, уравнение (2.10) пере-
ходит в уравнение Лапласса, для которого хорошо разработана теория уравнений математической физики [14].
∂ 2ϕ |
+ |
∂ 2ϕ |
+ |
∂ 2ϕ |
= ∆ϕ = 0. |
(2.11) |
∂x2 |
|
∂y 2 |
|
∂z 2 |
|
|
Пусть необходимо рассмотреть обтекание тонкого тела дозвуковым потоком, т.е.
пусть 0 < M x <1,M y , M z = 0 . Тогда M x2 |
≈ M ∞2 , где M ∞ - число Маха набегающего |
|||
потока, а уравнение (2.10) приближенно запишется: |
|
|||
(1 − M 2 ) |
∂ 2ϕ + |
∂ 2ϕ |
+ ∂ 2ϕ = ∆ϕ = 0. |
(2.12) |
|
∂x 2 |
∂y 2 |
∂z 2 |
|
Введем новую переменную X = |
x |
|
|
|
1 − M ∞2 , |
тогда уравнение (2.15) |
приведется к |
||
виду (2.11).
Для тонкого тела линеаризуем уравнение Бернулли. Уравнение Бернулли
2 |
−u |
2 |
|
p |
|
|
|
γ |
|
|
|
vx |
|
|
|
p∞ |
= 0 |
|
|||||
|
|
|
+ |
|
− |
|
|
|
|
, |
|
|
2 |
|
ρ |
|
γ −1 |
||||||
|
|
|
|
ρ∞ |
|
|
|||||
где u, p - соответственно скорость и давление в набегающем потоке.
39
Полагая, что p = p∞ +δp и ρ = ρ∞ +δρ , причем δp и δρ малы и по условию баро-
тропности δp = a 2δρ = γ ρp δρ можем записать с точностью до малых второго
порядка
|
p +δp |
|
|
|
γ |
|
δp |
|
|
|
− |
p∞ |
= |
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
ρ +δρ |
|
γ −1 |
ρ∞ |
||||||
|
|
ρ∞ |
|
|
|||||
Отсюда получим линеаризованное уравнение Бернулли
ρ |
vx2 −u2 |
+ (p − p∞ )= 0 . |
(2.13) |
|
|||
2 |
|
|
|
Для тонкого тела vx = u +v , где v - малое отклонение по скорости, причем v = ∂ϕ∂x .
Отсюда vx2 ≈ u 2 + 2uv + O(v2 ) .
Подставляя vx2 в (2.13), получим
|
|
p − p∞ |
|
v |
|
∂ϕ |
|
∂ϕ |
|
|
|
||
C pH |
|
|
|
∂X |
|
∂x |
2 |
|
2 |
||||
= |
|
|
|
= −2 |
|
= −2 |
|
= −2 |
|
1 − M ∞ |
= C p |
1 − M ∞ . |
|
|
ρu 2 |
|
u |
u |
u |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь Cp - коэффициент давления для сжимаемого газа. Таким образом, распреде-
ление давления, полученное для несжимаемого газа, может быть пересчитано на случай сжимаемого газа по формуле:
Cp = |
CpH |
. |
(2.14) |
||
1 |
− M∞2 |
||||
|
|
|
|||
Это формула Прандтля - Глауэрта.
40
При изучении обтекания тонкого тела сверхзвуковым потоком (Мx >1), рассуждая
аналогично предыдущему и вводя переменную X = |
x |
, |
|||||
M ∞2 −1 |
|||||||
получим волновое уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
∂ 2ϕ |
+ |
∂ 2ϕ |
− |
∂ 2ϕ |
= 0, |
|
|
∂z2 |
|
∂y2 |
|
∂X 2 |
|
|
|
которое также хорошо изучено [14]. Найдя из решения волнового уравнения Cpb
по аналогии с (2.14), можем записать
Cp = |
Cpb |
, |
(2.15) |
||
1 |
− M ∞2 |
||||
|
|
|
|||
это формула Аккерета.
Литература
1.Коул Дж., Кук Л. Трансзвуковая аэродинамика. -М.: Мир, 1980.
2.Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидродинамика. -М.:
ФМЛ, 1963.-Т. 1,2.
3.Черный Г.Г. Газовая динамика. -М.: Наука, 1988г.
4.Дейч М.Е., Зарянкин А.Е. Гидрогазодинамика. -М.: Энергоиздат, 1984.
5.Аржанников Н.С., Мальцев В.Н. Аэродинамика. -М.: Оборонгиз, 1956.
6.Абрамович Г.Н. Прикладная газовая динамика. -М.: Наука, 1969.
7.Швец А.И. Аэродинамика сверхзвуковых форм. -М.: Изд. МГУ, 1987.
8.Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. -М.: ТТЛ, 1957.
9.Трофимов В.М. Гидродинамика турбулентности, включающей крупномасштабную ее часть. Препринт 13 - 91, ИТПМ СО РАН, -Новосибирск, 1991.
10.Седов Л.И. Механика сплошной среды. -М.: Наука, 1983.-Т. 1,2.
41