Глава 8. Первообразная. Неопределенный интеграл
JМожно считать, что D 6= 0.
1) Случай D < 0: Òàê êàê sgn (ax2 + bx + c) = sgn a; то условие
выполняться лишь при a > 0:
p p
Положим t = ax2 + bx + c + x a: Тогда
9
p
D ax2 + bx + c 6= ? может
|
|
t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
(t |
2 |
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
x = |
|
|
c |
= dx = |
2t(b + 2 at) |
|
c)2 a |
dt = |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
b + 2pat |
) |
|
|
|
|
|
|
(b + 2pat)2 |
) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
t2 c |
; |
bt + p |
|
(t2 + c) |
|
|
2t(b + 2p |
at) (t2 c)2p |
|
dt = |
Z |
|
|
|||||||||||||||||||
I = |
2R |
|
a |
a |
R |
(t)dt; |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Z |
|
|
b + 2pat |
|
|
b + 2pat |
|
|
|
|
(b + 2pat)2 |
1 |
|
||||||||||||||||||||||
ãäå R1(t) рациональная дробь, следовательно, I выражается через элементарные функции.
22) Случай D > 0: Имеем ax2 +bx+c = a(x x1)(x x2); ãäå x1;2 вещественные корни уравнения |
||||||||
ax + bx + c = 0: Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
x1 |
||
|
|
+ bx + c = ra |
||||||
|
ax2 |
x |
|
jx x2j; |
||||
|
x2 |
|||||||
p |
|
|
|
|
|
|||
так что подынтегральная функция является дробно линейной иррациональностью и в соответствии с Леммой ?? интегрируется в элементарных функциях. I
8.3.4 Интегрирование дифференциального бинома
Интегралом от дифференциального бинома называется интеграл вида
Z
I = xm (a + xn)p dx;
ãäå n; m; p 2 Q:
Выясним, в каких случаях I выражается через элементарные функции.
Случай 1. Пусть p 2 Z: Положим x = tN ; ãäå N общий знаменатель дробей n è m. Тогда mN è nN целые, следовательно, xm(a + bxn)pdx = NtmN (a + btnN )ptN 1dt = R(t)dt; ãäå R(t) ðàöè-
ональная дробь, откуда в силу Теоремы ?? следует интегрируемость I в элементарных функциях. Случай 2. p 2= Z. Подстановка x = t1=n приводит I ê âèäó
|
|
|
|
1 |
|
Z |
t(m+1)=n 1 (a + bt)p dt: |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
I = |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
||||||||||
a) Åñëè (m+1)=n 2 Z, òî I = |
R t;pl |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
a + bt dt; ãäå l знаменатель дроби p, òî åñòü I интеграл |
||||||||||||||||||
от дробно линейной |
иррациональности, который согласно Лемме |
|
?? выражается в элементарных |
|||||||||||||||
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
функциях. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Заметим, что в этом случае подстановка s = pl |
|
|
|
|
||||||||||||||
a + bxn сразу "рационализирует"I. |
||||||||||||||||||
b) Пусть (m + 1)=n + p 2 Z: Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
!dt; |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
t(m+1)=n+p |
a + bt |
|
R |
t; l |
|
a + bt |
||||||||||
|
I = n |
t |
dt = |
|
|
t |
||||||||||||
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
r |
|
|
|
|
|
так что снова получаем интеграл от дробно линейной иррациональности, который "рационализируется"подстановкой
r
s = l a + bt = pl ax n + b: t
Таким образом, интеграл от дифференциального бинома берется в элементарных функциях, если одно из чисел p; (m + 1)=n; (m + 1)=n + p целое.
Замечание 8.8. Эти случаи по существу были известны еще Ньютону (XVII век). Однако лишь в середине XIX века русский математик П.Л. Чебышев установил замечательный факт, что других случаев интегрируемости в элементарных функциях нет.
Глава 8. Первообразная. Неопределенный интеграл |
10 |
8.3.5Интегрирование некоторых тригонометрических выражений
R
Рассмотрим интеграл I = R(sin x; cos x)dx; ãäå R(x; y) рациональная дробь с вещественными коэффициентами от переменных x; y.
Лемма 8.4. Интеграл I выражается через элементарные функции.
JСделаем замену переменных t = tg x=2; |
x 2 ( =2; =2): Тогда |
|
|
|
||||||||||||
x = 2 arctg t |
) |
dx = |
2 |
|
dt; |
sin x = |
|
2t |
; |
cos x = |
1 t2 |
; |
||||
1 + t2 |
1 + t2 |
1 + t2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
òàê ÷òî |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I = 2 |
|
R |
|
2t |
; |
1 t2 |
|
1 |
|
dt = |
|
R |
(t)dt; |
|
|
|
Z |
|
|
|
1 + t2 |
Z |
|
|
|||||||||
|
1 + t2 |
1 + t2 |
|
1 |
|
|
|
|||||||||
ãäå R1 рациональная дробь с вещественными коэффициентами. I
Подстановка t = tg x=2 называется универсальной и годится для любого рационального выра-
жения от sin x è cos x, но часто приводит к сложным вычислениям. В некоторых частных случаях
удается обойтись более простой заменой.
1) Пусть R(u; v) = R0(u2; v)u; ãäå R0 рациональная дробь. Тогда
Z
I = R0(sin2
x; cos x) sin xdx = |
dt = sin xdx |
= Z |
R0(1 t2; t)dt: |
|
cos x = t; |
|
|
|
|
|
|
2) Åñëè R(u; v) = R0(u; v2)v; то, аналогично п. 1),
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I = Z |
R0(t; 1 t2)dt: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Пример 8.10. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I = |
Z |
sin x cos 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I = |
Z |
|
sin x(2 cos2 x 1); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
откуда заменой t = cos x получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Z |
|
(1 |
|
|
t2)(2t2 |
|
1) |
|
|
|
|
Z |
2t2 |
|
|
1 |
|
|
Z |
|
1 t2 |
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p2t + 1 |
|
||||||||||||||||||||||||||
I = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
= 2 |
|
|
|
dt |
|
|
+ |
|
|
|
|
dt |
|
= p |
2 |
ln |
|
|
2t 1 |
|
+ |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
1 |
|
|
|
t + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
cos x + 1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
+ |
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ C = p2 ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ C: |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
t |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
p2 cos x + 1 |
|
|
|
2 |
|
|
cos x |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8.3.6Понятие об интегралах, не берущихся в элементарных функциях
Из правил дифференцирования следует, что операция дифференцирования не выводит нас из класса элементарных функций. С операцией интегрирования дело обстоит иначе: интегралы от некоторых элементарных функций могут не быть элементарными. Например:
R |
e x |
2 |
R |
|
dx |
R |
cos x |
|
||
2 |
|
sin x |
|
|||||||
1) |
dx; |
3) |
sin x2dx; |
5) |
x |
dx; |
||||
2) R |
cos x dx; |
4) R |
|
|
; |
6) R |
|
|
dx: |
|
|
ln x |
x |
||||||||
Эти интегралы существуют, но не являются элементарными функциями. Эти функции не только существуют, но и играют существенную роль в различных вопросах физики. Например, интеграл 1), называемый интегралом Пуассона , широко применяется в статистической физике, в теории теплопроводности, диффузии и т.д. Интегралы 2),3) называют интегралами Френеля, 4) интегральный логарифм, 5), 6) интегральный косинус и синус соответственно.