МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ БАШКИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Ишкин Х.К.
ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ. ЧАСТЬ II
ДЛЯ СТУДЕНТОВ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ФАКУЛЬТЕТОВ
Учебное пособие
Óôà 2012
Оглавление
1
Глава 8
Первообразная. Неопределенный интеграл
8.1Определение и основные свойства неопределенного интеграла
8.1.1Первообразная
Определение 8.1. Пусть функции F (x) и f(x) определены на интервале (a; b)(конечном или
бесконечном). Тогда если F дифференцируема на (a; b) и F 0(x) = f(x) |
8 |
x |
2 |
(a; b), то F называется |
|
первообразной для функции f на (a; b): |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Пример 8.1. Функция F (x) = arctg x первообразная для f(x) = 1=(1 + x2) íà ( 1; 1): |
|||||
Пример 8.2. F (x) = arctg 1=x: Так как F 0(x) = 1=(1 + x2); |
x = 0; то F первообразная для |
||||
f(x) = 1=(1 + x2) íà ( 1; 0) èëè (0; 1): |
6 |
|
|
|
|
Пример 8.3. Функция f(x) = sgn x не имеет первообразной на любом интервале (a; b), содержащем точку 0.
J |
Действительно, если бы существовала функция F такая, что F 0(x) = sgn x; x |
2 |
(a; b); òî x |
|||||
|
|
|
|
|
|
8 2 |
||
(0; b) |
по Теореме Лагранжа о конечных приращениях F (x) F (0) = sgn x; ãäå = (x) 2 (0; x), |
|||||||
= (F (x) |
|
F (0))=x = 1; откуда получили бы sgn 0 = F 0(0) = lim(F (x) |
|
F (0))=x = 1: |
I |
|||
) |
|
|
|
|
|
|||
x!
Таким образом, не всякая функция может иметь первообразную. В следующей главе будет доказано, что любая непрерывная функция имеет первообразную. С другой стороны, если F ïåð-
вообразная для f íà (a; b; òî F + const также является первообразной для f, следовательно, если
первообразная существует, то их бесконечное множество. В связи с этим возникает вопрос: каково это множество?
Теорема 8.1. Если F1 è F2 первообразные для f на (a; b), то F1 F2 const íà (a; b):
JРассмотрим функцию (x) = F1(x) F2(x); x 2 (a; b): Имеем 0(x) = 0 íà (a; b): Отсюда в силу следствия из Теоремы Лагранжа (x) const íà (a; b): I
Замечание 8.1. Условие, что F10 = F20 на сплошном интервале, существенно.
Действительно, из примеров ?? è ?? видно, что производные функций F1(x) = arctg x è F2(x) = arctg 1=x совпадают на ( 1; 0) [ (0; 1). Íî F1 F2 6= const íà ( 1; 0) [ (0; 1).
Упражнение 8.1. Доказать, что |
; |
|
F1(x) F2(x) = |
ïðè x < 0: |
|
|
0; |
ïðè x > 0; |
Следствие. Если F одна из первообразных для f на (a; b); то любая первообразная для f на
(a; b) имеет вид (x) = F (x) + const
2
Глава 8. Первообразная. Неопределенный интеграл |
3 |
8.1.2Интеграл!неопределенный
Определение 8.2. Множество âñåõ первообразных функции f на (a; b) называется неопределен-
R
ным интегралом от функции f на (a; b) и обозначается f(x)dx: При этом f(x)dx называется подынтегральным выражением, а f(x) подынтегральной функцией, x переменной интегрирования.
Согласно следствию из Теоремы ??
Z
f(x)dx = F (x) + C; |
(8.1) |
ãäå F некоторая фиксированная первообразная f, C любая постоянная. Подчеркнем, что равенство (??) понимается как равенство двух множеств:
Z
f(x)dx = fF (x) + C; C = constg :
Пример 8.4.
Zdx
1 + x2 = arctg x + C; x 2 ( 1; 1):
8.1.3Основные свойства неопределенного интеграла
Лемма 8.1. Пусть f и g имеют первообразные на (a; b). Справедливы следующие утверждения:
1. |
d R f(x)dx = f(x)dx; |
|
2. |
(a) |
R (f(x) g(x)) dx = R f(x)dx R g(x)dx; |
RR
(b)Af(x)dx = A f(x)dx 8A = const 6= 0:
Замечание 8.2. Формула 1 понимается так: дифференциал любого представителя множества
R
f(x)dx равен f(x)dx: Формулы 2(a) и 2(b) понимаются как равенства двух множеств.
J 1 следует из (??).
2(a). Пусть F è G первообразные f è g соответственно. Тогда F G первообразная f g. Следовательно, левая часть 2(a)= fF G + C; C = constg; правая часть=fF + C1 (G + C2) =
F G + C; C = constg:
2(b) доказывается так же, как и 2(a). I