Замечание 11.7. На самом деле формула (??) верна при менее ограничительных условиях, а именно, если f m раз дифференцируема в точке x0 ([?, c. 500]).

Следствие 2. Если функция f имеет все частные производные (m + 1)-го порядка, непрерывные в B"(x0); то остаточный член в формуле (??) можно взять в виде

Поэтому остаточный член в формуле ( ??) можно взять в интегральной форме (см. п. 10.5.3):

1 R1(1 t)m'(m+1)(t)dt: Отсюда следует (??)I m! 0

Формы остаточных членов (??), (??), (??) будем называть соответственно Лагранжа, Пеано и интегральной.

11.8Экстремум функции многих переменных

11.8.1Необходимое условие экстремума

Пусть функция u = f(x) определена в некоторой окрестности O(M0) точки M0 2 Rn:

Определение 11.29. Точка M0 называется точкой локального максимума (минимума) тогда и только тогда, когда 9 B (M0) : 8 x 2 B (M0) f(x) f(M0) (соответственно f(x) f(M0)).

Точка M0 называется точкой строгого локального максимума (минимума) , если нера-

венство (соответственно ) в пределах B (M0) можно заменить на < (соответственно >). Точку локального максимума или минимума называют точкой экстремума.

Теорема 11.23 (Необходимое условие экстремума) . Пусть функция u = f(x) определена в неко-

@f

торой O(M0) и имеет частные производные @xi (M0): Тогда если f имеет экстремум в точке

@f

M0, òî @xi (M0) = 0 8i = 1; : : : ; n:

JРассмотрим функцию '(t) = f(x01; : : : ; x0i 1; t; x0i+1; : : : ; x0n): По условию ' дифференцируема в точке x0i и имеет экстремум в этой точке. Отсюда по Лемме Ферма (п. 6.1.1) '0(x0i ) = 0: Íî

'0(x0) = @f (M0). I

i @xi

Определение 11.30. Точка x0, в которой обращаются в 0 все частные производные первого по-

рядка, называется стационарной.

Точка x0 называется критической для f, если она стационарна или в этой точке не существует хотя бы одна из частных производных первого порядка.

Пример 11.15. f(x; y) = xy.

Имеем @f@x (O) = @f@y (O) = 0; íî O не является точкой экстремума, так как в сколь угодно малой окрестности точки O функция принимает как положительные, так и отрицательные значения.

Этот пример показывает, что обращение в нуль всех частных производных необходимое, но не достаточное условие экстремума.

11.8.2 Достаточные условия экстремума

A. Квадратичные формы

В предыдущем разделе было показано, что если аргументы функции u = f(x1; : : : ; xn) являются независимыми переменными или линейными функциями независимых переменных, то

@2u ãäå aik = @xi@xk .

Определение 11.31. Функция m переменных t1; : : : ; tm âèäà

i;k=1

называется квадратичной формой от переменных t1; : : : ; tm с коэффициентами aik. Åñëè aik = aki; то квадратичная форма называется симметричной.

Квадратичная форма называется положительно (отрицательно) определенной , если

'(t1; : : : ; tm) > 0 (соответственно < 0) 8 t : t21 + + t2n 6= 0: Квадратичная форма называется знакоопределенной, если она положительно или отрицательно определена.

Лемма 11.8 (Критерий Сильвестра). Пусть AT = A; то есть симметрична. Тогда

1.положительно определена тогда и только тогда, когда A1 > 0; A2 > 0; : : : ; Am > 0:

2.отрицательно определена тогда и только тогда, когда A1 < 0; A2 > 0; : : : .

Это хорошо известный факт из курса алгебры, его доказательство можно найти в любом стандартном учебнике по алгебре.

Лемма 11.9. Если положительно определена, то 9 > 0 :(t) t21 + + t2m 8 t 2 Rm:

m

поскольку U унитарна, то s21 + + s2m = t21 + + t2m: Отсюда следует утверждение леммы. I

Б. Достаточные условия экстремума

Теорема 11.24. Пусть функция f дважды дифференцируема в точке x0 2 Rn и пусть x0

стационарная точка для f: @f (x0) = 0 8 i = 1; : : : ; n: Тогда

@xi

1.Åñëè d2f(x0) положительно (отрицательно) определенная квадратичная форма относи- тельно переменных dx1; : : : ; dxn; òî x0 точка локального минимума (соответственно максимума).

2. Åñëè d2f(x0) знакопеременна, то f в точке x0 не имеет экстремума.

J1. Пусть d2f(x0) положительно определена. Покажем, что x0 точка минимума.

1

Положим x0 = x0 + k xkh0; ãäå k xk > 0: Покажем, что при достаточно малых k xk точка x0

удовлетворяет первому из неравенств ( ??). Из соотношения (??) ïðè x = x0 имеем

f(x0) f(x0) = k xk2 1 (h0) + o(k xk2) ;

2 k xk2

откуда, в силу (??), следует, что при всех достаточно малых k xk > 0 f(x0) f(x0) > 0; то есть выполняется первое из неравенств ( ??). I

Замечание 11.8. Если известно, что d2f(x0) 0 или 0, то ничего определенного о наличии или отсутствии экстремума в точке x0 сказать нельзя.

Пример 11.16. 1. f(x; y) = x3 + y3;

2.f(x; y) = x4 + y4:

Âобоих случаях d2f(O) 0. При этом в первом примере функция f â O не имеет экстремума,

àво втором O точка строгого минимума.