1. К математическому программированию относится:

Линейное программирование: состоит в нахождении экстремального значения линейной функции многих переменных при наличии линейных ограничений, связывающих эти переменные;

Нелинейное программирование: целевая функция и ограничения могут быть нелинейными функциями;

Особым случаем в задачах линейного и нелинейного программирования является случай, когда на оптимальные решения накладывается условие целочисленности. Такие задачи относятся к целочисленному программированию;

Динамическое программирование: для отыскания оптимального решения планируемая операция разбивается на ряд шагов (этапов) и планирование осуществляется последовательно от этапа к этапу. Однако выбор метода решения на каждом этапе производится с учетом интересов операции в целом;

Теория графов: с помощью теории графов решаются многие сетевые задачи, связанные с минимальным протяжением сети, построение кольцевого маршрута и т.д.

Стохастическое линейное программирование. Бывает много практических ситуаций, когда коэффициенты c_i целевой функции, коэффициенты a_ij в матрице коэффициентов, коэффициенты ограничений b_i - являются случайными величинами. В этом случае сама целевая функция становится случайной величиной, и ограничения типа неравенств могут выполняться лишь с некоторой вероятностью. Приходится менять постановку самих задач с учётом этих эффектов и разрабатывать совершенно новые методы их решения. Соответствующий раздел получил название стохастического программирования.

Геометрическое программирование. Под задачами геометрического программирования понимают задачи наиболее плотного расположения некоторых объектов в заданной двумерной или трехмерной области. Такие задачи встречаются в задачах раскроя материала для производства каких-то изделий и т.п. Это - еще недостаточно разработанная область математического программирования и имеющиеся здесь алгоритмы в основном ориентированы на сокращение перебора вариантов с поиском локальных минимумов.

Задачами теории массового обслуживания является анализ и исследование явлений, возникающих в системах обслуживания. Одна из основных задач теории заключается в определении таких характеристик системы, которые обеспечивают заданное качество функционирования, например, минимум времени ожидания, минимум средней длины очереди.

Теория игр пытается математически объяснить явления, возникающие в конфликтных ситуациях, в условиях столкновения сторон. Такие ситуации изучаются психологией, политологией, социологией, экономикой.

2. Линейное программирование - наиболее разработанный и широко применяемый раздел математического программирования. Это объясняется следующим:

математические модели очень большого числа экономических задач линейны относительно искомых переменных;

эти типы задач в настоящее время наиболее изучены;

для них разработаны специальные конечные методы, с помощью которых эти задачи решаются, и соответствующие стандартные программы для их решения на ЭВМ;

многие задачи линейного программирования, будучи решенными, нашли уже сейчас широкое практическое применение в народном хозяйстве;

некоторые задачи, которые в первоначальной формулировке не являются линейными, после ряда дополнительных ограничений и допущений могут стать линейными или могут быть приведены к такой форме, что их можно решать методами линейного программирования.

Итак, Линейное программирование – это направление математического программирования, изучающее методы решения экстремальных задач, которые характеризуются линейной зависимостью между переменными и линейным критерием.

Основные этапы построения моделей

1. Этапы моделирования:

2. Постановка цели моделирования

3. Анализ моделирования объекта и выделение всех его известных свойств

4. Анализ его выделенных свойств с точки зрения цели моделирования и определение, какие из них следует считать существенными

5. Выбор формы представления модели

6. Формализация

7. Анализ полученной модели на непротиворечивость

8. Анализ адекватьности полученной модели объекты и цели моделирования

Не существует универсальных правил определения, какие из извесных свойств объекта являются существенными для конкретного случая.

Если условия моделирования позволяют, то рекондуется построить несколько моделей с разными наборами "существенных" свойств и затем оценить их на адекватность объекту и цели моделирования.

8 Если система ограничений задачи линейного программирования представлена в виде системы линейных неравенств с двумя переменными, то такая задача может быть решена геометрически. Таким образом, данный метод решения ЗЛП имеет очень узкие рамки применения.

Однако метод представляет большой интерес с точки зрения выработки наглядных представлений о сущности задач линейного программирования.

Геометрический (или графический) метод предполагает последовательное выполнение ряда шагов. Ниже представлен порядок решения задачи линейного программирования на основе ее геометрической интерпретации.

1. Сформулировать ЗЛП.

2. Построить на плоскости {х₁, х₂} прямые, уравнения которых получаются в результате замены в ограничениях знаков неравенств на знаки точных равенств.

3. Найти полуплоскости, определяемые каждым из ограничений задачи.

4. Найти область допустимых решений.

5. Построить прямую c₁x₁ + c₂x₂ = h, где h - любое положительное число, желательно такое, чтобы проведенная прямая проходила через многоугольник решений.

6. Перемещать найденную прямую параллельно самой себе в направлении увеличения (при поиске максимума) или уменьшения (при поиске минимума) целевой функции. В результате, либо отыщется точка, в которой целевая функция принимает максимальное (минимальное) значение, либо будет установлена неограниченность функции на множестве решений.

7. Определить координаты точки максимума (минимума) функции и вычислить значение функции в этой точке.

13 Графический способ решения задачи ЛП показывает, что оптимальное ре­шение этой задачи всегда ассоциируется с угловой точкой пространства решений (в математике она также называется крайней точкой множества). Это является ключевой идеей при разработке общего алгебраического симплекс-метода для решения любой задачи линейного программирования.

Каноническая форма задачи линейного программирования:

f(x) с₁х₁ + ...+ с_nx_n > max(min);

a₁₁x₁ +… a_1nx_n b₁;

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

a_mx₁ +… a_mnx_n b_m;

x_i 0; i 1, …, n.

Решение системы, в котором все свободные переменные полагаются равными нулю, называется базисным

(количество возможных базисных решений равно количеству вариантов определения базисных переменных).

14 Алгоритм симплекс-метода находит оптимальное решение, рассматривая ограниченное количество допустимых базисных решений. Алгоритм симплекс-метода всегда начинается с некоторого допустимого базисного решения и затем пытается найти другое допустимое базисное решение, "улучшающее" значение целевой функции. Это возможно только в том случае, если возрастание какой-либо нулевой (небазисной) переменной ведет к улучшению значения целевой функции. Но для того, чтобы небазисная переменная стала положительной, надо одну из текущих базисных переменных сделать нулевой, т.е. перевести в небазисные. Это необходимо, чтобы новое решение содержало в точности m базисных переменных. В соответствии с терминологией симплекс-метода выбранная нулевая переменная называется вводимой (в базис), а удаляемая базисная переменная — исключаемой (из базиса).

Условие допустимости. Как в задаче максимизации, так и в задаче минимизации в качестве исключаемой выбирается базисная переменная, для которой отношение значения правой части ограничения к положительному коэффициенту ведущего столбца минимально. Если базисных переменных с таким свойством несколько, то выбор исключаемой переменной выполняется произвольно.

Последовательность действий, выполняемых в симплекс-методе.

Шаг 1. Находится начальное допустимое базисное решение.

Шаг 2. На основе условия оптимальности определяется вводимая переменная. Если вводимых переменных нет, вычисления заканчиваются.

Шаг 3. На основе условия допустимости выбирается исключаемая переменная.

Шаг 4. Методом Гаусса-Жордана вычисляется новое базисное решение. Переход к шагу 2.

Задача условной оптимизации формулируется следующим образом:

f (x) = f (x₁, x₂, ..., x_n) Юextr,

j _i (x) = j _i(x₁, x₂, ..., x_n) = 0, , m < n.

15 когда исходное ограничение записано в виде равенства или имеет знак “³”, нельзя сразу же получить допустимое начальное базисное решение.

Покажем это на следующем примере:

z = 4x1 + x2 ® min, (13)

3x1 + x2 = 3,

4x1 + 3x2 ³ 6, (14)

x1 + 2x2 £ 4,

x1, x2 ³ 0.

Чтобы записать задачу в стандартной форме, введем в левую часть второго ограничения избыточную переменную x3 , а в левую часть третьего – остаточную переменную x4. В результате система ограничений примет вид:

3x1 + x2 = 3,

4x1 + 3x2 - x3 = 6, (15)

x1 + 2x2 + x4 = 4,

x1 , x2, x3, x4 ³ 0.

Таким образом, имеются три уравнения, содержащие четыре неизвестных. Это означает, что каждому базисному решению соответствует одна не базисная переменная (равная нулю). В отличие от случая, когда каждое уравнение содержит остаточную переменную, в данной ситуации уже нельзя быть уверенным в том, что при нулевом значении одной из переменных все базисные переменные будут неотрицательными.

Идея использования искусственных переменных предполагает включение неотрицательных переменных в левую часть каждого из уравнений, не содержащих «очевидных» начальных базисных переменных. Эти переменные

играют роль остаточных и используются только для получения начального базиса, причем в процессе оптимизации они принимают нулевые значения, обеспечивая допустимость оптимума.

Разработаны два тесно связанных между собой метода получения начального базиса, в каждом из которых используется «штрафование» за использование искусственных переменных. Рассмотрим каждый из них на при-

мере сформулированной выше задачи.