Metod-zaochn

Печатается по решению кафедры общей физики БашГУ (протокол № от .).

Ответственные за выпуск:

канд. физ.-мат. наук, доц. В.Н. Назаров канд. Физ.-мат. наук. доц. Ш.З. Измайлов

МЕХАНИКА

Механика – это раздел физики, который изучает механическую форму движении материи.

Механика подразделяется на ньютоновскую механику, релятивистскую механику и квантовую механику. Ньютоновская механика изучает механическое движение макроскопических тел, движущихся со скоростями, много меньшими скорости света в вакууме. Релятивистская механика изучает механическое движение макроскопических тел, движущихся со скоростями, сравнимыми со скоростью света. Квантовая механика изучает механическое движение микроскопических тел (отдельных атомов и элементарных частиц).

Механика состоит из трех разделов: кинематика, динамика и статика. Кинематика изучает движение тел (изменение движения) без учета

причин их вызывающих.

Динамика изучает движение как результат взаимодействия тел. Статика изучает условия равновесия тел под воздействием сил.

Кинематика поступательного и вращательного движения

Материальная точка – это модель реального тела, размерами и формой которого в данной задачи пренебрегают.

Движение материальной точки всегда рассматривается в системе отсчета – это совокупность неподвижных относительно друг друга тел, по отношению к которым рассматривается движение, и отсчитывающих время

часов. Положение материальной точки в пространстве можно задать двумя способами: векторный и координатный. Радиус-вектором материальной точки А относительно начала О называется вектор, проведенный из начала О в

точку А. Если ввести орты координатных осей (единичные векторы i , j ,

k , модуль которых равен 1), то можно

3

записать связь между радиус-вектором и декартовыми координатами материальной точки:

rr = xi + yj + zk .

В кинематике знать движение материальной точки означает: знать какой функцией времени является ее радиус-вектор r = r (t) либо декарто-

вы координаты x = x(t) , y = y(t) , z = z(t) .

Если точка при своем движении в пространстве переместилась из положения 1 в положение 2 за время ∆t = t2 −t1 , то вектор

перемещения ∆r есть вектор, проведенный из начально-

го положения в конечное:

∆r = r2 − r1 .

Траектория – это совокупность точек пространства, в которых побывала материальная точка при своем движении. Пройденным путем ∆S называется расстояние, отсчитанное по траектории.

Скорость и ускорение материальной точки

Средний вектор скорости перемещения точки в пространстве за время ∆t определяется отношением вектора перемещения ∆r к промежутку времени, за который это перемещение произошло:

Средняя скорость движения по траектории определяется отношени-

Мгновенный вектор скорости равен первой производной радиусвектора точки по времени:

vr = drdt = rr& .

Модуль мгновенной скорости равен отношению бесконечно малого перемещения dS к бесконечно малому времени dt , за которое это перемещение произошло:

v = dSdt = S& .

4

В декартовой системе координат связь между вектором скорости и его компонентами имеет следующий вид:

Модуль скорости можно определить через его компоненты: v = vx2 + v2y + vz2 .

Средний вектор ускорения за время ∆t равен отношению приращения вектора скорости за время ∆t к этому времени:

Мгновенное ускорение равно первой производной вектора скорости или второй производной радиус-вектора по времени:

ar = dvdt = vr& = &rr&.

Связь между вектором ускорения и его компонентами в декартовой системе координат можно записать в следующем виде:

ar = axir + ay rj + az k ,

где

Полное ускорение состоит из двух взаимно перпендикулярных векторов: ускорения, которое характеризует быстроту изменения модуля скоро-

сти и называемое тангенциальным или касательным ускорением arτ = dvdt rτ

и ускорения, которое характеризует быстроту изменения направления век-

тора скорости и называемое нормальным или центростремительным

Здесь τ и n – орты, направленные по касательной вдоль траектории и по главной нормали к центру кривизны траектории соответственно; R – радиус кривизны траектории.

Тогда вектор ускорения через нормальные и тангенциальные составляющие можно записать в виде:

5

a = aττ + ann .

Возведя в квадрат, получим абсолютное значение полного ускорения:

Уравнения равномерного и равноускоренного движений

В случае равномерного прямолинейного движения материальной точки ( v = const ) функция r (t) имеет вид:

r (t) = r0 + vt ,

а для равнопеременного движения ( a = const ):

Здесь r0 – начальное положение точки, rr0 = rr(t) t =0 = rr(0) ; v0 – на-

чальная скорость.

При решении задач часто удобно записывать функцию r (t) непосред-

ственно в проекциях на оси координат. Тогда при постоянном ускорении a функцию r (t) можно представить в виде двух уравнений:

В частности, при движении материальной точки под действием силы тяжести удобно выбрать ось y вертикально вверх. В этом случае вектор

ускорения имеет лишь одну проекцию, отличную от нуля ( ax = 0 , ay = −g ,

где α – угол, образованный вектором начальной скорости v0 с горизонтом.

Часто удобно поместить начало координат в начальной точке траектории

( x0 = y0 = 0 ).

6

Движение точки по окружности

Мгновенное угловое ускорение равно первой производной угловой скорости или второй производной угла поворота по времени:

β = ddtω = ω& = ϕ&& .

Связь между линейной и угловой скоростями материальной точки: v = Rω ,

где R – радиус окружности.

Связь между линейным и угловым ускорениями материальной точки: aτ = Rβ.

Бесконечно малое угловое перемещение dϕ материальной точки яв-

ляется вектором. Поэтому угловая скорость является векторной величиной:

ωr = ddtϕ ,

а направление вектора ω определяется по правилу правого винта.

Вектор линейной скорости материальной точки выражается через вектор угловой скорости через векторное произведение:

v =[ω, r ] .

Угловое ускорение также является векторной величиной:

βr = ddtω .

При движении точки по окружности вектор ω меняется лишь по модулю, а по направлению совпадает с неизменной осью вращения.

7

Задача 1.1. Радиус-вектор точки изменяется со временем по закону rr = 2t 2i +tj + k (м). Найти скорость vr и ускорение a точки, модуль ско-

рости v в момент t = 2 с , а также приближенное значение пути S , пройденного точкой за 10-ю секунду движения, и среднюю скорость прохождения этого пути S .

Получается, что вектор ускорения имеет только одну компоненту, не зависящую от времени ax = 4 м/с2 , значит, движение вдоль оси x является равноускоренным, а вдоль оси y – равномерным.

Найдем теперь модуль скорости. Так как vz = 0 , то

v = vx2 + v2y = (4t)2 +1

и в момент времени t = 2 с

v = (4 2)2 +1 ≈ 8 м/с .

Для нахождения пути S , пройденного точкой за 10-ю секунду движения, можно считать его приближенно равным перемещению, так как промежуток времени достаточно мал. Тогда найдем перемещение r9 за время

t9 = 9 c и r10 за время t10 =10 c и возьмем их разность. Учитывая

| rr(t) |= x2 + y2 + z2 = (2t 2 )2 +t 2 +1 ,

получим

тогда путь за 10-ю секунду движения

8

hn = g2τ2 (2n −1).

В момент времени, когда тело достигло Земли, t = nпослτ , yB = h :

Тогда путь, пройденный телом за последнюю секунду:

его пути, введем координаты начала и конца этого метра: yA′ = (n −1)l , yB′ = nl , где l =1 м . Тогда можно написать:

Можно выбрать другую систему координат, связанную с Землей: начало координат в точке падения, ось координат направлена вертикально вверх. Тогда уравнение движения примет вид:

10

Используя другие начальные ( y0 = h ) и конечные ( y = 0 ) условия,

получим те же самые ответы.

Можно выбрать систему координат и другим способом: с началом в точке бросания тела и осью, направленной вверх. Несложно проверить, что решение соответствующих уравнений приведут к тем же результатам.

стоящего у подножия горы, поверхность которой наклонена под углом β к горизонту. Каким должен быть угол α0 стрельбы по отношению к горизон-

ту, чтобы имело место максимальная дальность полета снаряда. Найти также расстояние L вдоль горизонта, куда попал снаряд при таком выстреле.

ниями движения снаряда в параметрическом виде.

Исключая неизвестное время t , приведем уравнение движения к виду:

11

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Задача 1.5. Зависимость пройденного телом пути от времени задается уравнением S = 2 +5t +t 2 + 0,3t3 (м). Определить время после начала

движения, через которое ускорение a тела будет равно 20 м/c2 , а также среднюю скорость < v > и среднее ускорение < a > тела за этот промежуток времени.

Задача 1.6. Автомобиль проехал первую половину пути со скоростью v1 = 40 км/ч , а вторую – со скоростью v2 = 60 км/ч . Определить среднюю скорость автомобиля на всем пройденном пути.

Задача 1.7. Первую половину времени своего движения автомобиль перемещался со скоростью v1 = 40 км/ч , а вторую половину – со ско-

ростью v2 = 60 км/ч . Найти среднюю скорость за все время движения автомобиля.

Задача 1.8. Найти скорость v относительно берега лодки, идущей по течению, против течения и под углом α = 90° к направлению течения. Скорость течения реки u =1 м/c , скорость лодки относительно воды v0 = 2 м/c .

Задача 1.9. Лодка движется перпендикулярно к берегу со скоростью v = 7,2 км/ч. Течение относит ее вниз на расстояние l =150 м . Найти скорость u течения реки и время t , затраченное на переправу. Ширина реки L = 0,5 км.

Задача 1.10. Лодка перемещается относительно воды в реке со скоростью v0 = 2 м/c под углом α = 60° к течению, скорость которого

u =1 м/c . Определить скорость v лодки относительно берега, ее направление по отношению к течению и перемещение к моменту времени t = 30 c .

Задача 1.11. С аэростата, находящегося на высоте h = 300 м, упал камень. Через какое время t камень достигнет Земли, если: а) аэростат поднимается со скоростью v = 5 м/c ; б) аэростат опускается со скоростью v = 5 м/c ; в) аэростат неподвижен.

14

Задача 1.12. Свободно падающее тело за последнюю секунду прошло 1/ 3 своего пути. Сколько времени и с какой высоты падало тело?

Задача 1.13. Небольшое тело брошено под углом α к горизонту с начальной скоростью v0 . Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти

дальность полета L , наибольшую высоту подъема H , время подъема до максимальной точки и время полета τ, уравнение траектории тела.

Задача 1.14. Чему равно отношение максимальных высот поднятия тел, брошенных под одним и тем же углом к горизонту с начальными скоростями v0 и 2v0 , над первоначальным уровнем?

Задача 1.15. На высоте h горизонтально с постоянной скоростью летит самолет. С земли производится выстрел из орудия, причем скорость снаряда v0 в момент выстрела направлена на самолет под углом α к гори-

зонту. С какой скоростью u летел самолет, если снаряд поразил цель?

Задача 1.16. Шарик падает с нулевой начальной скоростью на гладкую горизонтальную поверхность, образующую с горизонтом угол α .

Пролетев расстояние h , он упруго отскакивает от плоскости. Определить расстояние между точками первого и второго ударов.

Задача 1.17. Тяжелая горизонтальная плита движется вверх с постоянной скоростью u . Легкий шарик начинает свободно падать и, пролетев расстояние h , сталкивается упруго с плитой. Определить время между двумя последовательными ударами шарика о плиту.

Задача 1.18. Каковы линейная и угловая скорости движения точек земной поверхности на широте Уфы ( ϕ = 55° ) при суточном вращении

Земли? Радиус Земли 6400 км.

Задача 1.19. Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси по закону ϕ = 6t − 2t3 (рад). Найти: а) средние значения угловой скорости и

углового ускорения за промежуток времени от t = 0 до остановки; б) угловое ускорение в момент остановки тела.

15

Задача 1.20. Диск радиусом R =10 см вращается вокруг неподвижной оси так, что зависимость угла поворота радиуса диска от времени

задается уравнением ϕ = 8 + 2t +5t2 +t3 (рад). Определить для точек обода

колеса к концу первой секунды после начала движения: а) угловую скорость ω; б) линейную скорость v ; в) тангенциальное aτ и нормальное an

ускорение; г) полное ускорение a ; д) угол, составляемый вектором полного ускорения с радиусом колеса, проведенным через соответствующую точку обода.

Задача 1.21. Колесо радиусом R равномерно катится без скольжения по горизонтальному пути со скоростью v . Найти скорости точек 1, 2 и 3, выразив их через орты координатных осей. Найти также координаты xA и yA произвольной точки A на ободе колеса как

функции времени t или угла поворота колеса ϕ . В

начальный момент xA = 0 , yA = 0 , ϕ = 0 . По най-

денным выражениям для xA и yA построить график

траектории точки на ободе колеса.

Указание. Движение точек обода колеса можно рассматривать как результат сложения двух движений: поступательного движения со скоростью v оси колеса и вращения вокруг этой оси. Для этих точек при отсутствии скольжения колеса модули векторов скорости поступательного движения и линейной скорости, обусловленной вращением, равны друг другу.

Задача 1.22. Автомобиль с колесами радиусом R движется со скоростью v по горизонтальной дороге, причем v2 > Rg , где g – ускоре-

ние свободного падения. На какую максимальную высоту h может быть заброшена вверх грязь, срывающаяся с колес автомобиля? Указать положение той точки на покрышке колеса, с которой при данной скорости движения автомобиля грязь будет забрасываться выше всего. Сопротивление воздуха движению отброшенного вверх грязи не учитывать.

Задача 1.23. Якорь электродвигателя, вращавшийся с частотой

n = 50 с−1 , после выключения тока двигаясь равнозамедленно, остановился, сделав полное число оборотов N =1680 . Найти угловое ускорение якоря.

16

Динамика поступательного движения

Динамика изучает механическое движение тел в связи с действующими на них силами. Сила, действующая на тело, является мерой взаимодействия его с окружающими объектами и приводящая к изменению скорости движущегося тела. В основе механики лежат 3 закона Ньютона.

1 закон Ньютона: всякое тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока воздействие другого тела не выведет его из этого состояния.

2 закон Ньютона: ускорение, приобретаемое телом под действием внешнего воздействия, прямо пропорционально величине этого воздействия и обратно пропорционально массе тела:

ar = ∑mFi .

3 закон Ньютона: два тела действуют друг на друга с силами, равными по величине и противоположными по направлению:

F12 = −F21 .

Количеством движения или импульсом тела массой m , движущегося со скоростью v , называется величина

p = mv .

Второй закон Ньютона можно представить в общей форме

Fr = dpdt ,

то есть изменение количества движения тела пропорционально действующей силе и происходит в направлении этой силы.

Сила трения скольжения пропорциональна силе нормального давления N , с которой одно тело действует на другое:

Fтр = kN ,

где k – коэффициент трения.

Закон всемирного тяготения: любые два тела (материальные точки) притягиваются друг к другу с силами, пропорциональными произведению их масс и обратно пропорциональными квадрату расстояния между ними:

F = G m1m2 , r2

где G = 6.67 10−11 Н м2 кг−2 – гравитационная постоянная.

17

Задача 2.1. На наклонной плоскости с углом к горизонту α нахо-

дится тело массой m2 , связанное невесомой нитью с телом массой m1 . Найти ускорение этих тел, если известно, что тело m1 опускается. Тре- нием в блоке пренебречь. Коэффициент трения

Для описания движения первого тела выберем направление оси системы отсчета вертикально вниз, а для второго тела направление одной из осей возьмем вдоль наклонной плоскости, а другой – перпендикулярно.

Тогда уравнения движения в проекциях на координатные оси будут выглядеть следующим образом:

T − Fтр − m2 g sin α = m2a ,

N − m2 g cos α = 0 ,

−T + m1g = m1a .

Сила трения скольжения равна при этом

Fтр = kN = km2 g cos α .

Тогда можно написать

T −m2 g(k cos α +sin α) = m2 a ,

−T + m1g = m1a .

Складывая два последних уравнения, получим

a = g m1 − m2 (k cos α +sin α) . m1 + m2

18

Задача 2.2. Определить ускорения грузов массами m1 , m2 и m3 в системе блоков, показанной

на рисунке. Массой блока и нитей пренебречь. Трение отсутствует.

Так как в условиях задачи данные приведены в общем виде, мы не можем сразу определить характер движения каждого тела, какое

тело будет опускаться, а какое подниматься. Поэтому ускорения в левых частях системы (1) оставляем в общем случае, потому что оно яв- ляется не причиной, а следствием движения.

Если при решении задачи ускорение какого- либо тела даст положительную величину, то оно будет двигаться вниз по оси x , если отрица- тельную – то против оси x .

По условию задачи трение отсутствует, массу блоков и нити не учитываем, нить считаем нерастяжимой. Тогда для сил натяжения нитей можно записать следующие соотношения:

T2 =T3 =T , T1 = 2T .

Тогда систему (1) запишем в виде: