Metod-zaochn

При интерференции волн максимум и минимум амплитуды получается соответственно при условиях

щиеся в упругой среде и имеющие частоту в пределах от 20 до 20000 Гц. Уровень громкости L определяется как логарифм отношения интен-

сивности данного звука I к интенсивности I0 , принятой за исходную. Значение L в децибелах (дБ) определяется формулой

где I0 =10−12 Вт/м2 .

По принципу Доплера частота звука, воспринимаемая наблюдателем, определяется формулой

ν = ν0 1 ± vп / v , 1 m vи / v

где ν0 – частота излучаемых колебаний, v – скорость распространения звука, vп – скорость движения приемника (наблюдателя), vи – скорость движения источника. Перед скоростью vп знак «+», если приемник при-

ближается к источнику; «–», если приемник удаляется от источника. Перед скоростью vи знак «–», если источник приближается к приемнику; «+»,

если источник удаляется от приемника.

Задача 6.1. Волна с частотой 4 Гц распространяется в пространстве со скоростью 6 м/с. Найти в градусах разность фаз волны в двух точках пространства, отстоящих друг от друга на расстоянии 50 см и расположенных на прямой, совпадающей с направлением распространения волны.

Ответ:

∆ϕ =120° .

Задача 6.2. Амплитуда звуковой волны увеличилась в 10 раз. На сколько увеличился уровень громкости?

Так как интенсивность волны пропорциональна квадрату амплитуды I ~ A2 , окончательно получим

Ответ:

∆L = 20 дБ .

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Задача 6.3. Звуковые колебания, имеющие частоту ν = 500 Гц и амплитуду A = 0,25 мм, распространяются в воздухе. Длина волны λ = 70 см. Найти скорость v распространения колебаний и максимальную скорость vmax частиц воздуха.

Задача 6.4. Уравнение незатухающих колебаний имеет вид x = = sin π2 t см. Найти уравнение волны, если скорость распространения коле-

баний v = 300 м/с. Написать и изобразить графически уравнение колебания для точки, отстоящей на расстоянии l = 600 м от источника колебаний. На-

41

писать и изобразить графически уравнение колебания для точек волны в момент времени t = 4 с после начала колебаний.

Задача 6.5. Найти разность фаз ∆ϕ колебаний двух точек, лежа-

щих на луче и отстоящих на расстоянии l = 2 м друг от друга, если длина волны λ =1 м.

Задача 6.6. Найти длину волны λ основного тона ля (частота ν = = 435 Гц). Скорость распространения звука в воздухе v = 340 м/с.

Задача 6.7. Человеческое ухо может воспринимать звуки с частотой приблизительно от ν1 = 20 Гц до ν2 = 20 000 Гц. Между какими длина-

ми волн лежит интервал слышимости звуковых колебаний? Скорость распространения звука в воздухе v = 340 м/с.

Задача 6.8. При помощи эхолота измерялась глубина моря. Какова была глубина моря, если промежуток времени между возникновением звука и его приемом оказался равным t = 2,5 с? Сжимаемость воды

β = 4,6 10−10 Па−1 ( β =1/ E ), плотность морской воды ρ =1,03 103 кг/м3 .

Задача 6.9. Шум на улице с уровнем громкости L1 = 70 дБ слышен в комнате так, как шум с уровнем громкости L2 = 40 дБ. Найти отношение I1 / I2 интенсивностей звуков на улице и в комнате.

Задача 6.10. Человеческое ухо способно воспринимать разницу уровней громкости 1,0 дБ. Каково отношение I1 / I2 интенсивностей этих

звуков, уровни громкости которых отличаются на эту величину?

Задача 6.11. Два поезда идут навстречу друг другу со скоростями

второго поезда: а) перед встречей поездов; б) после встречи поездов. Скорость распространения звука в воздухе v = 340 м/с.

Задача 6.12. Ружейная пуля летит со скоростью u = 200 м/с. Во сколько раз изменится частота тона свиста пули для неподвижного наблюдателя, мимо которого пролетает пуля? Скорость распространения звука в воздухе v = 333 м/с.

42

Уравнение состояния газа

Уравнение состояния газа определяет связь его температуры T , давления p и объема V в состоянии термодинамического равновесия.

Идеальным называется газ, размерами молекул которого можно пренебречь по сравнению с его объемом, и в котором силы взаимодействия между молекулами пренебрежимо малы.

Для идеального газа уравнение состояния имеет следующий вид pV = Mm RT ,

где m – масса газа, M – молярная масса, R = 8,31 Дж/моль K – универсальная газовая постоянная.

Величину ν = m / M называют количеством вещества, она выражается в молях. Моль – это количество вещества, в котором содержится число час-

тиц, равное числу атомов в 0,0012 кг изотопа углерода 12C .

при V = const (изохорический процесс).

Закон Авогадро: моли любых газов при одинаковых температуре и давлении занимают одинаковые объемы. Число частиц, содержащихся в моле вещества, называется постоянной Авогадро

N A = 6,02 1023 моль−1 .

43

Нормальные физические условия определяются давлением p0 =1,013 105 Па (нормальная атмосфера), температурой T = 273K ( 0°C ),

при которых молярный объем газа V0 = 22,4 10−2 м3 / моль .

Закон Дальтона: давление смеси газов равно сумме их парциальных давлений, то есть давлений, которые имел бы каждый из этих газов в отдельности, если бы он при данной температуре один занимал весь объем.

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов

где p – давление, n – число молекул в единице объема, < E > – средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул, m0 – масса одной молекулы, vср.кв. – средняя квадратичная скорость молекулы.

Число молекул в единице объема (концентрация молекул): n = kTp ,

где k = R / N A =1,38 10−23 Дж/K – постоянная Больцмана.

Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы:

Задача 7.1. В цилиндре под поршнем находится воздух при давлении 2 105 Па и температуре 27 °C . С какой силой надо действовать на поршень после нагревания воздуха до температуры 40 °C , чтобы объем

воздуха в цилиндре был равен первоначальному? Площадь поршня 20 см2 .

44

= 2 105 Па, если средняя квадратичная скорость молекул vср.кв. =103 м/с.

откуда плотность газа

ρ = Vm = pMRT .

45

С учетом того, что vср.кв. = 3RT / M , сразу имеем ответ:

2 способ предполагает использование основного уравнения молеку- лярно-кинетической теории в виде:

Ответ:

ρ = 0,6 мкг3 .

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Задача 7.3. Внутри закрытого с обоих концов горизонтального цилиндра имеется тонкий поршень, который может скользить в цилиндре без трения. С одной стороны поршня находится водород массой m1 = 4 г, с

другой – азот массой m2 =14 г. Какую часть объема цилиндра занимает водород?

Задача 7.4. Сосуд разделен перегородками на три части, объемы которых равны V1 , V2 и V3 , в которых находятся газы при давлениях p1 ,

p2 и p3 соответственно. Какое давление в сосуде установится после удаления перегородок, если температура при этом осталась неизменной?

Задача 7.5. В баллоне объемом 0,2 м3 находится газ под давлением 105 Па при температуре 290 К. После подкачивания газа давление повы-

силось до 3 105 Па, а температура увеличилась до 320 К. На сколько увеличилось число молекул газа?

46

Задача 7.6. Воздушный шар объемом V заполнен гелием. При нормальных условиях он может поднять груз массой m1 . Какой груз может поднять тот же шар при замене гелия водородом при той же температуре?

Задача 7.7. Объем пузырька газа, всплывающего на поверхность со дна озера, увеличился в 3 раза. Какова приблизительно глубина озера, если считать, что температура воды постоянна?

Задача 7.8. Камеры автомобильных шин накачиваются при помощи насоса, работающего от двигателя. Сколько времени требуется для того, чтобы камеру объема V = 6 л накачать до давления p = 0,5 МПа, если

при каждом цикле насос захватывает из атмосферы цилиндрический столб воздуха высоты h =10 см и диаметра d =10 см и если время одного качания τ =1,5 с? Начальное давление в камере p0 = 0,1 МПа.

Задача 7.9. Газ последовательно переводится из состояния 1 с температурой T1 в состояние 2 с тем-

пературой T2 , а затем в состояние 3 с температурой T3 и возвращается в состояние 1. Найти температуру T3 , если процессы изменения происходили так, как это показано на рисунке, а температуры T1 и T2 известны.

Задача 7.10. В сосуде находятся 14 г азота и 9 г водорода при температуре t =10 °C и давлении p =1 МПа. Найти молярную массу смеси и

объем сосуда.

Задача 7.11. Найти концентрацию молекул водорода при давлении p = 266,6 Па, если средняя квадратичная скорость его молекул 2,4 103 м/с.

Задача 7.12. Во сколько раз средняя квадратичная скорость пылинки, взвешенной в воздухе, меньше средней квадратичной скорости мо-

лекул воздуха? Масса пылинки m =10−8 г. Воздух считать однородным газом, молярная масса которого M = 0,029 кг/моль.

47

Первое начало термодинамики

Внутренняя энергия термодинамической системы – это энергия теп-

лового движения молекул:

U = Mm 2i RT ,

где i – число степеней свободы (число независимых координат, определяющих положение системы в пространстве): i = 3 для одноатомной молекулы, i = 5 для двухатомной молекулы, i = 6 для молекул, состоящих из трех или более атомов.

Теплоемкостью тела называется величина, равная количеству теплоты, которую нужно сообщить телу, чтобы повысить его температуру на один кельвин:

Cтела = δdtQ .

Теплоемкость единицы массы вещества называется удельной теплоемкостью с, теплоемкость одного моля вещества называется молярной теплоемкостью С . Удельная и молярная теплоемкости связаны:

C = c M ,

где M – молярная масса.

Теплоемкость газа зависит от условий, при которых происходит его нагревание: CV = i / R – молярная теплоемкость при постоянном объеме,

C p – при постоянном давлении. Они связаны уравнением Майера:

C p = i +22 R = CV + R .

Первое начало термодинамики: количество теплоты, сообщаемое системе, затрачивается на приращение внутренней энергии системы и совер-

шение системой работы над внешними телами

Q = ∆U + A ,

где Q – количество теплоты, полученное системой, ∆U – изменение

внутренней энергии системы, A – работа, совершаемая системой против внешних сил.

Если температура идеального газа массой m изменилась на величину ∆T , то его внутренняя энергия изменилась на величину:

∆U = cV m∆T = Mm CV ∆T = 2i Mm R∆T .

48

Если при постоянном давлении p газ нагревается на ∆T =T2 −T1 , то его объем возрастает от V1 до V2 и газ совершает работу:

A = p(V2 −V1)= p∆V .

Применим первое начало термодинамики с уравнением состояния Клапейрона–Менделеева к различным процессам:

При изобарическом процессе ( ∆p = 0 ):

A = p∆V = Mm R∆T .

Если в процессе изобарического расширения к газу подводилось тепло, то согласно первому началу термодинамики:

Q = ∆U + A = Mm CV ∆T + Mm R∆T = Mm C p ∆T = Mm i +22 R∆T .

При изотермическом процессе ( ∆T = 0 ) все тепло, получаемое газом,

идет на совершение работы, так как в этом случае ∆U = 0 :

Q = A = m RT ln V2 . M V1

При изохорическом процессе ( ∆V = 0 ) все тепло, получаемое газом,

идет на изменение внутренней энергии последнего:

Q= ∆U .

Вэтом случае A = 0 , а количество теплоты, получаемое или отдаваемое газом, может быть определено по формуле:

Q = Mm CV ∆T = 2i R Mm ∆T .

Адиабатический процесс происходит при изменении объема газа без теплообмена с окружающей средой. В этом случае давление p и объем V

постоянной массы газа связаны уравнением Пуассона:

Для перехода к переменным T и V можно использовать уравнение Клапейрона–Менделеева и тогда получим:

TV γ−1 = const .

При адиабатическом процессе ( Q = 0 ) работа производится за счет

внутренней энергии газа: при расширении газ охлаждается и наоборот. Работа в этом случае определяется выражением:

49

где T1 и V1 – первоначальные значения температуры и объема газа, V2 –

объем газа в конце процесса.

При политропическом процессе теплоемкость тела остается постоянной величиной ( C = const ). В этом случае давление p и объем V связаны

уравнением политропы:

где Q1 – количество теплоты, полученное от нагревателя, Q2 – количество

теплоты, отданное холодильнику. Для идеального цикла Карно:

η = T1 −T2 ,

T1

где T1 и T2 – температуры нагревателя и холодильника соответственно.

Задача 8.1. Под поршнем цилиндра, расположенного вертикально, находится 200 г воздуха, который при сообщении ему количества теплоты 100 Дж изобарически нагрелся на 1 °C . Если принять воздух за идеальный

газ, то чему равны работа воздуха по поднятию поршня и увеличение его внутренней энергии?

Работа расширения воздуха при постоянном давлении:

A = p∆V ,

где ∆V – изменение объема воздуха.

Используя уравнения Клапейрона–Менделеева

p∆V = Mm R∆T ,

получим

0,2 8,31 1 = − 57,3 Дж.

29 10 3

Увеличение внутренней энергии равно:

∆U =100 −57,3 = 42,7 Дж.

Ответ:

A = 57,3 Дж , ∆U = 42,7 Дж .

Задача 8.2. Идеальная тепловая машина Карно совершает за один цикл работу 800 Дж и отдает за один цикл холодильнику количество теплоты 3,2 кДж при температуре 47 °C . Найти температуру нагревателя.

Сдругой стороны, для цикла Карно

η= T1 −T2 =1− T2 ,

T1 T1

51

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Задача 8.3. 10 г кислорода находятся в сосуде под давлением p = = 300 кПа и температуре 10 °C . После изобарического нагревания газ за-

нял объем V =10 л. Найти количество теплоты, полученное газом, изменение внутренней энергии газа и работу, совершенную газом при расширении.

Задача 8.4. В закрытом сосуде находится масса 20 г азота и 32 г кислорода. Найти изменение внутренней энергии газов при охлаждении ее на 28 К.

Задача 8.5. В сосуде под поршнем находится 1 г азота. Какое количество теплоты надо затратить, чтобы нагреть азот на 10 К? На сколько при этом поднимется поршень? Масса поршня 1 кг, площадь его попереч-

ного сечения 10 см2 . Давление под поршнем 100 кПа.

Задача 8.6. Масса m = 2 г гелия, находящегося при температуре

полученного извне тепла до объема V2 = 20 л. Определить работу, совершенную газом при расширении, и количество сообщенной газу теплоты.

Задача 8.7. Один моль кислорода нагревается при постоянном объеме от температуры t0 = 0 °C . Какое количество теплоты Q необходимо

сообщить кислороду, чтобы его давление увеличилось в три раза? Удельная

52

теплоемкость кислорода при постоянном объеме cV = 657 Дж/(кг К) , его молярная масса M = 0,032 кг/моль.

Задача 8.8. Воздух массы m = 5 г нагревается при постоянном давлении от температуры T0 = 290 К. Какое количество теплоты Q необходимо сообщить воздуху, чтобы его объем увеличился в два раза? Считать, что

= 2 МПа и температуре t1 = 27 °C , сжимается адиабатически от объема V1 до V2 = 0,5V1 . Найти температуру и давление газа после сжатия.

Задача 8.10. Давление некоторого газа изменяется с объемом V по закону p = p0 exp[−α(V −V0 )] . Найти работу, совершаемую газом при расширении от V1 до 2V1 .

Задача 8.11. Газ совершает цикл Карно. Абсолютная температура нагревателя в n раз превышает температуру холодильника (T1 = nT2 ). Ка-

кую долю теплоты, получаемой за один цикл от нагревателя, газ отдает холодильнику?

Задача 8.12. Идеальная холодильная машина, работающая по обратному циклу Карно, совершает работу за один цикл A = 37 кДж. При

этом она забирает теплоту от тела с температурой T2 = 263 К и передает ее телу с температурой T1 = 290 К. Найти КПД цикла, количество теплоты Q2 , отнятое у первого тела, и количество теплоты Q1 , переданное второму телу за один цикл.

Задача 8.13. В цилиндрах карбюраторного двигателя внутреннего сгорания газ сжимается политропически так, что после сжатия температура газа становится равной T2 = 700 К. Начальная температура газа T1 = 413 К.

Степень сжатия V1 /V2 = 5,8 . Найти показатель политропы n .

53

Ответы

Кинематика поступательного и вращательного движения

1.5.t =10 c, < v >= 45 м/с, < a >=11м/c2 .

1.6.< v >= 48 км/ч.

1.7.< v >= 50 км/ч.

1.8.а) v = 3 м/с; б) v =1 м/с; в) v = 2,24 м/с.

1.9.u = 0,6 м/с, t = 250 с.

1.10.v = 2,65 м/с, β = 41°, S = 79 м.

1.11.а) t = 8,4 с; б) t = 7,3 с; в) t = 7,8 с.

1.12.t = nτ = 5,45 с, h =145,5 с.

1.16.xn = 8nhsin α .

1.17.t = 2( 2gh +u) / g .

1.18.v = 267 м/с, ω = 4 10−5 рад/с.

1.19.а) < ω >= 4 рад/c , < β >= 6 рад/c2 ; б) β = 4 рад/c2 .

1.21. xA = R(1−cos ϕ) = R(1−cos ωt) , yA = R(ϕ−sin ϕ) = R(ωt −sin ωt) .

2.9. k = v02 /(2Sg) = 0,01 .

Законы сохранения импульса и энергии

3.3. При k = 0,3 для совершения наименьшей работы куб нужно кантовать.

При k < ( 2 −1) / 2 меньшую работу потребуется совершить, перемещая куб «волоком».

3.4.∆l = (m1 −m2 )l . M +m1 +m2

3.5.F∆t = 2,8 10−23 H c .

3.6.а) u = Mv /(M + m) ; б) u = (Mv −mw) /(M +m) .

3.7.Q / E = 0,5 .

3.8.h = 6,4 м.

3.9.h2 = h1 (tg α −k) /(tg α+k) .

3.10.a = g(2H / ∆l −1) =19g .

55

Кинематика и динамика гармонических колебаний

5.3.vm = 0,094 м/c , am = 0,29 м/c2 , ϕ =17,3 рад.

5.4.T = 0,64 с, ν =1,57 Гц, x(0) = 2,08 м, v(0) =1,88 м/с, v(10) =1,88 м/с, a(10) = 5,13 м/c2 .

56

5.5. x(t) = π3 cos 2πt .

5.6. ϕ0 = 54° , ν = 0,74 Гц, x = Acos(ωt +ϕ0 ) , y = Asin(ωt +ϕ0 ) , где

A= 5,16 м.

5.7.x = FA2 / 2W =1,5 см.

5.8.Уменьшится в 2 раза.

5.9.m = 200 г.

5.10.ν =1,3 Гц.

6.5.∆ϕ = 4π – точки колеблются в одинаковых фазах.

6.6.λ = 0,78 м

6.7.От λ1 =17 мм до λ2 =17 м.

6.8.h =1816 м.

6.9.I1 / I2 =1000 .

6.10.I1 / I2 =1,26 .

57