Вишка. Клочко

ЗМІСТ

1 Елементи лінійної алгебри . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 1.1 Поняття матриці, види матриць . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Дії над матрицями. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 1.3 Визначники. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4 Поняття оберненої матриці і її знаходження. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.5Матричний спосіб розв’язування систем лінійних алгебраїчних

рівнянь. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.6 Формули Крамера. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.7 Метод Гаусса. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21 2 Елементи векторної алгебри. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.1 Скалярні і векторні величини. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 25 2.2 Поняття вектора. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3Лінійні операції над векторами

2.4Лінійна комбінація векторів. Лінійно залежні і незалежні

вектори. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.5 Поняття базису та координат вектора. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.6 Лінійні операції над векторами, що задані координатами . . . . . . . . .33 2.7 Проекція вектора на вісь . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34 2.8 Задання вектора координатами його початку і кінця . . . . . . . . . . . . .36 2.9 Поділ відрізка в даному відношенні . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37 2.10 Скалярний добуток векторів . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38 2.11 Вираження скалярного добутку векторів через їх декартові

координати . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39 2.12 Векторний добуток векторів . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40 2.13 Вираження векторного добутку через їх декартові координати . . . .41 2.14 Мішаний добуток векторів . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.15 Вираження мішаного добутку векторів через їх

декартові координати. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3 Елементи аналітичної геометрії. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.1 Про метод координат і поняття про рівняння лінії на площині. . . . .46 3.2 Рівняння прямої на площині . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47 3.3 Площина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .55 3.4 Пряма в просторі . . .. . . . . . . . . . .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .60 3.5 Пряма і площина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .65 3.6 Криві другого порядку . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .68 3.7 Поверхні другого порядку. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .77 4 Завдання для типового розрахунку . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..84

5Обчислення за допомогою комп’ютерної математичної системи

MathСAD.. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

Література . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

3

1 ЕЛЕМЕНТИ ЛІНІЙНОЇ АЛГЕБРИ

1.1 Поняття матриці, види матриць

Матриці, що з’явились в середині XIX століття в працях англійських математиків Гамільтона і Келі, досить широко використовуються як в самій математиці, так і в багатьох технічних дисциплінах. Почнемо з формальних означень, доцільність яких стане зрозумілою поступово.

Означення. Матрицею розмірності m´ n називається прямокутна таблиця, що складається з m × n чисел і містить m рядків і n стовпців.

Горизонтальні ряди називаються рядками, а вертикальні – стовпцями матриці. Числа, з яких складена матриця, називаються елементами матриці.

Круглі дужки по боках цієї таблиці використовуються для позначення матриці. Кількість рядків і стовпців довільна. Для скорочення запису позначають матриці однією великою буквою латинського алфавіту, наприклад, A, B, C, D, E і т.д. Кількість рядків і стовпців називається розмірністю матриці. Так, в першому прикладі маємо матрицю розмірності 2× 4, в другому – 2× 2, в третьому – 3×1.

В загальному випадку матрицю розмірності m×n записують так:

при цьому використовуються подвійні індекси, перший з яких вказує номер рядка, а другий – номер стовпця.

Скорочено матрицю розмірності m× n записують так:

A = (aij )m×n або B = (bij )m×n ,

де aij або bij – елементи матриці, що стоять на перетині i-го рядка і j-го

стовпця, де i = 1, 2,…,m ; j = 1,2,…,n .

Вкажемо окремі види матриць.

− Якщо кількість рядків і стовпців збігається, тобто m = n, то матриця називається квадратною, а число n називається порядком матриці. Елементи а11 , а22 , …, ann складають головну діагональ

квадратної матриці.

−Матриця розмірності m×1 називається матрицею-стовпцем.

−Матриця розмірності 1× n називається матрицею-рядком.

−Матриця, всі елементи якої дорівнюють нулю, називається нульовою або нуль-матрицею і позначається символом О.

4

− Квадратна матриця називається діагональною, якщо вона має вигляд

− Діагональна матриця, всі діагональні елементи якої дорівнюють одиниці, називається одиничною і позначається символом Е.

1.2 Дії над матрицями

1. Перш за все визначимо, які матриці можна вважати рівними. Означення. Дві матриці А і В називаються рівними, якщо вони мають

однакову розмірність, а їх відповідні елементи рівні.

2.Додавання матриць. Які ж матриці можна додавати? Зрозуміло, що додавати можна матриці однакових розмірностей.

Означення. Сумою матриць однакових розмірностей називається матриця тієї ж розмірності, елементи якої дорівнюють сумі відповідних елементів матриць доданків. Суму двох матриць А і В позначають символом А+В.

Зауважимо, що для операції додавання матриць, як і для дії додавання чисел в арифметиці, виконуються переставний і сполучний закони, а саме:

1) А+В=В+А; 2) (А+В)+С=А+(В+С); 3) А+0=А.

Означення. Різницею двох матриць однакових розмірностей

називається матриця тієї ж розмірності, елементи якої дорівнюють різницям відповідних елементів зменшуваного і від’ємника. Різницю матриць А і В позначають символом А–В.

3.Множення матриці на число.

Означення. Добутком матриці на число або числа на матрицю називається матриця тієї ж розмірності, всі елементи якої дорівнюють добутку відповідних елементів даної матриці на це число.

За означенням α A = Aα .

Зауваження. Для цієї операції виконуються сполучний і розподільний закони математики, а саме:

1)α (βA)= (αβ )A ; 2)α(А+В)=αA+αВ; 3) (α + β )A =αA + βA; 4)1× A = A; 5) 0× A = 0.

5

Зауваження. Дії додавання матриць і множення матриці на число називаються лінійними операціями над матрицями.

4. Множення матриць.

Розглянемо спочатку операцію множення матриці-рядка на

матрицю-стовпець, в яких однакова кількість елементів.

Отже, добутком матриці-рядка на матрицю-стовпець є одноелементна матриця, елемент якої дорівнює сумі добутків відповідних елементів матриць-множників.

Щоб подібною процедурою можна було б скористуватись при множенні двох матриць, треба вимагати, щоб „ширина” першої матрицімножника, що визначається числом місць в її рядках, дорівнювала б „висоті” другої матриці-множника, що визначається числом місць в її стовпцях. Це потрібно для того, щоб можна було чітко визначити відповідні елементи матриць-множників, які повинні входити числовими множниками у відповідну суму. Отже, число елементів, що стоять в першому рядку матриці, що є першим множником, повинно збігатися з числом елементів, що стоять у відповідному стовпці матриці, що є другим множником. Відповідні пари множників, добутки яких будуть додаватись, визначаються за такою схемою

ІІ матриця

І матриця

Рисунок 1.1

Отже, щоб помножити дві матриці A = (aij )m×n і B = (bij )p×q , треба

вимагати, щоб p = n, тобто число стовпців першої матриці повинно дорівнювати числу рядків другої матриці. В цьому випадку матриці A і B

називаються узгодженими.

6

Означення. Добутком двох матриць A = (aij )m×n і B = (bij )n×q

називається матриця С розмірності m×q , елементи якої визначаються за формулою

де i=1, 2 ,…, n; j=1, 2,…, q.

Отже, елемент cij матриці С, що стоїть на перетині і-го рядка і j-го

стовпця, дорівнює сумі добутків всіх елементів і-го рядка матриці А на відповідні елементи j-го стовпця матриці В.

При множенні матриць на практиці, переконавшись спочатку в тому, що виконується наведена вимога множення матриць, результативну матрицю С заповнюють за рядками, перемножуючи всі елементи першого рядка матриці А на відповідні елементи 1-го, 2-го, ... , п-го стовпців матриці В, і, додаючи отримані добутки, результати записуємо в перший рядок матриці С; далі всі елементи другого рядка матриці А множимо на відповідні елементи 1-го, 2-го, ... , п-го стовпців матриці В, додавши отримані добутки, записуємо ці суми в другий рядок матриці С; закінчуємо цей процес, помноживши всі елементи останнього рядка матриці А на відповідні елементи 1-го, 2-го, ... , п-го стовпців матриці В, і додавши ці добутки, записуємо отримані суми в останній рядок матриці С.

Наведене правило множення матриць викликане необхідністю записувати системи лінійних алгебраїчних рівнянь в компактній формі.

Розв’язування. Число стовпців першої матриці n = 3 збігається з числом рядків p = 3 другої матриці, тому множення цих матриць можливе,

тобто ці матриці узгоджені, в результаті множення дістанемо матрицю розмірністю 2 ×1, тобто матрицю-стовпець.

7

Отже, операція множення матриць в загальному випадку не є

переставною, тобто переставний закон множення матриць не завжди виконується.

Якщо АВ = ВА, то матриці А і В називаються комутативними.

Приклад 4. Встановити, чи є комутативними матриці

Розв’язування. Знайдемо добутки АВ і ВА. Ці матриці узгоджені.

Зауваження. Для операцій множення матриць справедливі сполучний і розподільний закони математики, а саме:

1)(AB)× C = A × (BC);

2)A × (B + C)= AB + AC;

3)(A + B)× C = AC + BC.

Доведення цих рівностей опустимо, хоч доводяться вони нескладно і випливають з означення вказаних операцій.

Відзначимо ще одну важливу властивість:

Теорема. Якщо А – квадратна матриця, а Е – одинична матриця того ж самого порядку, то

Доводиться ця властивість безпосередньо (доведіть самостійно).

5. Транспонування матриці.

Якщо рядки матриці А записати стовпцями, зберігаючи порядок, тобто перший рядок записати першим стовпцем, другий рядок – другим стовпцем, третій рядок – третім стовпцем і.т.д., то отримана матриця називається транспонованою матрицею до матриці А і позначається символом АТ.

8

1.3 Визначники

Якщо матриця А квадратна, то з нею зв’язується деяке число, що називається визначником або детермінантом матриці, який скорочено

порядком даної матриці. Поняття детермінанта вводиться лише для квадратних матриць, детермінанти можуть бути другого, третього і п-го порядку, де n = 4, 5, 6 … .

Означення. Визначником матриці другого порядку називається число

Для визначників справедливі такі властивості:

10 . При транспонуванні матриці її визначник не змінюється, тобто detAТ = detA .

9