Вишка. Клочко

натягнутій нитці лінію. Дістанемо замкнену лінію, що має вигляд овала. Це і буде еліпс (рис.3.14).

точка M буде точкою еліпса, якщо виконується рівність r1 + r2 = 2a , де r1 і r2 – фокальні радіуси точки M .

Виразимо фокальні радіуси r1 і r2 через координати точок M , F1 і F2 .

Тоді рівність r1 + r2 = 2a запишеться так:

Рівняння (3.33) і є рівнянням еліпса, але воно має незручну форму запису. Зробимо деякі тотожні перетворення, звільнившись від ірраціональності. Для цього перенесемо другий радикал в праву частину і піднесемо обидві частини до квадрата, дістанемо:

(x + c)2 + y2 = 4a2 − 4a(x − c)2 + y2 + (x − c)2 + y2 .

Піднесемо двочлени до квадрата, зведемо подібні і, поділивши рівняння на 4, дістанемо:

a(x − c)2 + y2 = a2 − cx .

Піднесемо ще раз до квадрата обидві частини цього рівняння, дістанемо:

a2 (x2 − 2cx + c2 + y2 )= a4 − 2a2cx + c2 x2 ,

Тоді попереднє рівняння прийме вигляд b2 x2 + a2 y2 = a2b2 .

70

Поділивши обидві частини цього рівняння на a2b2 , дістанемо:

З канонічного рівняння еліпса випливає ряд властивостей еліпса.

10 . Координатні осі є осями симетрії, а точка О перетин осей симетрії є центром симетрії еліпса. Це випливає із того, що біжучі координати x і y входять з парними степенями, тому якщо точка M (x,y)

належить еліпсу, то точки M1(− x; y), M 2 (x;− y), M 3 (− x;− y) теж належать еліпсу.

20 . Точками перетину еліпса з осями симетрії є точки A1(− a; 0), A2 (a; 0), B1(0; − b), B2 (0; b). Ці точки називаються вершинами еліпса.

Це випливає з того, що при y = 0 Þ x2 = a2 Þ x = ±a , а при x = 0 Þ

Þ y2 = b2 Þ y = ±b . Величини 2a і 2b називаються відповідно великою і малою осями еліпса, а a і b – півосями еліпса.

дістанемо рівняння кола x2 + y2 = a2 з центром в початку координат і радіусом R = a .

Оскільки для еліпса a2 - c2 = b2 , то при b = a маємо, що c = 0. Таким чином, коло – це еліпс, в якого фокуси збігаються з центром еліпса.

71

Для характеристики еліпса вводять числову характеристику, якою є

відношення півфокусної відстані до великої півосі, тобто ε = ac , це число

називається ексцентриситетом еліпса. Це число характеризує відхилення еліпса від кола, ступінь „витягнутості” еліпса. Для кола ε = 0, а для еліпса 0 < ε <1.

50 . Якщо використати поняття ексцентриситета еліпса, то рівняння

60 . Прямі x = ± εa називаються директрисами (напрямними) еліпса.

Оскільки ε <1, то числа εa > a , тому директриси еліпса лежать поза

еліпсом. Характерною особливістю директрис є те, що відношення фокального радіуса будь-якої точки еліпса до відповідної її відстані до директриси є величиною сталою, що дорівнює ексцентриситету еліпса,

переходить в точку (x0 ; y0 ), а саме перетворення координат є паралельним переносом.

3.6.3 Гіпербола

Означення. Гіперболою називається множина точок площини, різниця відстаней яких від двох даних точок цієї самої площини, що називаються фокусами гіперболи, є величиною сталою і меншою, ніж відстань між фокусами.

Цю сталу величину позначають через 2a . Фокуси гіперболи позначають через F1 і F2 , відстань між фокусами гіперболи позначають

через 2c . Отже, c є півфокусною відстанню.

Якщо декартову систему координат вибрати так само, як у випадку еліпса, тобто вісь Ox розмістити на прямій, що проходить через фокуси, а

72

початок координат розмістити в точці, що є серединою відрізка F1F2 , то лівий і правий фокуси будуть визначені координатами, а саме F1(− c; 0) і

F2 (c; 0).

Нехай M (x,y) – біжуча точка гіперболи і r1 та r2 є відповідно лівий і

правий фокальні радіуси цієї точки, то з означення гіперболи будемо мати її рівняння, а саме:

r1 - r2 = 2a ,

Гіпербола складається з двох віток. Ліва вітка лежить у півплощині x £ -a , а права вітка лежить в півплощині x ³ a (це випливає із нерівності x ³ a ).

Аналогічно як і для еліпса виводять рівняння фокальних радіусів. Для

Дослідимо форму гірперболи за її канонічним рівнянням.

10 . Гіпербола має дві осі симетрії, якими є координатні осі, бо змінні координати біжучої точки гіперболи входять в ці рівняння з парними степенями.

20 . Гіпербола перетинає вісь Ox в двох точках A1(− a; 0) і A2 (a; 0),

73

що випливає із того, що при y = 0 з рівняння (3.40) маємо: x2 = a2 . Вісь 0y

гіпербола зовсім не перетинає, бо при x = 0 випливає, що y2 = −b2 , а ця рівність неможлива ні при жодному значенні y .

Точки A1(− a; 0) і A2 (a; 0) називаються вершинами гіперболи.

Величина 2a називається дійсною віссю гіперболи, а 2b називається уявною віссю гіперболи, а числа a і b – відповідно дійсною і уявною півосями.

Важливою характеристикою гіперболи є наявність в гіперболи

асимптот. Так називають прямі, відстань до яких біжучої точки кривої при необмеженому віддаленні точки від початку координат прямує до

демо границю при x → +∞ різниці ординати прямої і ординати гіперболи:

74

гіперболу (рис. 3.15).

якої є вісь Ox , фокуси і вершини цієї гіперболи розміщені на осі Oy .

визначає гіперболу з центром симетрії в точці (x0 ; y0 ) з дійсною піввіссю a і уявною піввіссю b.

3.6.4 Парабола

Означення. Параболою називається множина точок площини, рівновіддалених від даної точки цієї площини, що називається фокусом парабо-

ли, і від даної прямої, що називається директрисою.

Складемо рівняння параболи. Нехай на площині дано точку F і пряму. Щоб одержати найбільш простий вигляд її рівняння, виберемо декартову систему координат xOy так, щоб вісь Ox проходила через

фокус F перпендикулярно до директриси, а вісь Oy ділила відстань між

фокусом і директрисою навпіл. Відстань між фокусом і директрисою позначимо через p . Це число називається параметром параболи. Тоді в цій

Нехай M (x,y) – біжуча точка параболи. За означенням точка M буде точкою параболи тоді і тільки тоді, коли

FM = BM ,

де B – основа перпендикуляра, опущеного з точки M на директрису і

75

вій півплощині і парабола має вісь симетрії Ox .

20 . Знайдемо точку перетину зі своєю віссю симетрії: при y = 0 ви-

визначають параболи, осі симетрії яких відповідно паралельні осям Ox і Oy , а вершини їх знаходяться у точці (x0 ; y0 ).

76

Приклад 23.Визначити криву, рівняння якої має вигляд x2 − 2y2 + 2x +12y − 33 = 0 , і побудувати її.

Розв‘язування. Оскільки A =1, B = 0, C = −2 , то це рівняння описує гіперболу, бо старші коефіцієнти мають протилежні знаки. Виділимо повні

Зіставляючи це рівняння з рівнянням (3.43), бачимо, що це рівняння описує гіперболу з центром в точці (−1;3) і півосями a = 4 і b = 22 (рис. 3.18).

3.7 Поверхні другого порядку 3.7.1 Сферична поверхня

Означення. Сферичною поверхнею або сферою називається множи-

на точок простору, рівновіддалених від даної точки, що називається

центром сфери.

Складемо рівняння сфери з центром в точці C(a,b,c) і радіусом R . Візьмемо довільну точку M(x,y,z) і розглянемо вектор

77

3.7.2 Циліндричні поверхні

Означення. Циліндричною поверхнею або циліндром називається поверхня, утворена переміщенням прямої паралельно сталому вектору вздовж деякої плоскої лінії простору, що називається напрямною циліндричної поверхні.

Сама пряма, що утворює циліндричну поверхню, називається

твірною.

Нас будуть цікавити у вибраній прямокутній системі координат Oxyz

лише ті циліндричні поверхні, твірна яких паралельна одній із коорднатних осей. Припустимо, що твірна циліндричної поверхні паралельна осі Oz. Тоді напрямною цієї циліндричної поверхні буде деяка лінія, розташована в площині xOy (рис. 3.19)

Нехай M (x,y,z) – біжуча точка циліндричної поверхні. Через цю точку проведемо твірну циліндричної поверхні, яка перетинає напрямну (L) в деякій точці P(x,y,0). Звернемо увагу на те, що третя координата точки P

дорівнює нулю, а перша і друга координати такі ж, як і в точки M . Оскільки точка P(x,y,0) лежить на лінії (L), то її координати задовольняють її

рівняння (3.49), тобто f (x, y)≡ 0 , при цьому z = 0 . Тоді координати точки M (x,y,z) теж задовольняють рівняння f (x, y)= 0 , бо x і y такі ж самі, як в точки P , а z зовсім не входить в це рівняння, тобто f (x, y)≡ 0 , де x і

визначає в просторі деяку циліндричну поверхню, твірна якої паралельна

в просторі теж визначають циліндричні поверхні, твірні яких паралельні

78

відповідно осям Ox і Oy .

Таким чином, якщо в записі рівняння поверхні відсутня одна із змінних координат, то в просторі таке рівняння описує циліндричну поверхню, твірна якої паралельна тій координатній осі, чия відповідна координата відсутня в самому рівнянні.

Зауваження. Якщо напрямною циліндричної поверхні є одна із кри-

вих другого порядку, що розміщена в одній із координатних площин, яка описується деяким рівнянням другого степеня з двома змінними, то це ж рівняння в просторі описує циліндричну поверхню, яка називається

Зауважимо, що можливі циліндри другого порядку з твірними, паралельними іншим координатним осям.

3.7.3 Поверхні обертання і конічні поверхні

Означення. Поверхнею обертання називається поверхня, утворена обертанням деякої плоскої лінії навколо осі, що лежить з цією кривою в одній площині.

Нас будуть цікавити тільки такі поверхні обертання, коли віссю обертання є одна із координатних осей. За вісь обертання візьмемо вісь Oz, а плоску лінію (L), що обертається навколо осі Oz, виберемо в площи-

ні yOz . Складемо рівняння цієї поверхні обертання. Оскільки лінія (L) знаходиться в площині yOz , то її рівняння запишуться так:

ì f (y,z)= 0,

í (3.52)

îx = 0.

Будемо вважати y > 0. Кожна точка цієї лінії при її обертанні навколо осі Oz описує коло, центр якого лежить на осі Oz. Нехай M (x,y,z) –

79