Тобто дозволяє по будь-якому відомому вхідному сигналу X(t) знайти вихідний y(t). Це ж саме можна сказати і щодо сукупності коефіцієнтів поліномів чисельника і знаменника передавальної функції.

Комплексний коефіцієнт передачі (ККП).

Важливу роль при моделюванні лінійних стаціонарних систем відіграють частотні характеристики.

.

Функцію W(j), яку отримують з передаточної функції при підстановці в неї s=j

(3.3)

називають комплексним коефіцієнтом передачі (ККП), або частотною передаточною функцією. Частотна передаточна функція є комплексною функцією від дійсної змінної , яка називається частотою.

Функцію W(j) можна представити у вигляді

W(j)=Re()+jIm()=A(), (3.4)

де

(3.5)

- модуль ККП, що дорівнює відношенню амплітуд вихідного і вхідногосигналів для заданого значення частоти (амплідудно-частотна характеристика – АЧХ) і обчислюється, як

А()=, (3.6)

; (3.7)

а - фаза, яка дорівнює різниці фаз цих же сигналів

, (3.8)

і обчислюється, як

. (3.9)

На комплексній площині (рис.3.1) частотну передаточну функцію W(j) позначають вектором, довжина (модуль) якого дорівнює А(), а аргумент (кут утворений цим вектором з дійсно позитивною піввіссю) – (). Криву, яку описує кінець цього вектора при змінні частоти від нуля до нескінченності, називають амплітудно-фазовою характеристикою (АФЧХ), або годографом. Перевага годографа в тому, що він одночасно у полярній системі системі координат представляє залежність А() для всього діапазону частот.

Частотну передаточну функцію будемо називати також амплітудно– частотною функцією. Її дійсну частину Re() і уявну частину Im() будемо називати відповідно дійсною і уявною частотною функцією.

Im(ω_i)

ω_i

ω₀

Re(ω_i)

ω

Графік дійсної частотної функції називають дійсною частотною характеристикою, а графік уявної частотної функції – уявною частотною характеристикою.

Модуль A() = W(j) називають амплітудно- частотною функцією, її графік – амплітудною частотною характеристикою.

Аргумент ()=argW(j) називають фазовою частотною функцією, її графік – фазовою частотною характеристикою.

3.1.3 Імпульсна та перехідна характеристики

Імпульсною характеристикою (ваговою функцією) називається реакція системи на одиничний нескінченний імпульс (дельта-функцію або функцію Дірака) при нульових початкових умовах. Дельта-функція визначається рівностями

, . (3.10)

Це узагальнена функція - математичний об'єкт, що представляє собою ідеальний сигнал, ніякий реальний пристрій не здатен його відтворити. Дельта-функцію можна розглядати як границю прямокутного імпульсу одиничної площі з центром в точці при прагненні ширини імпульсу до нуля.

Рисунок 3.2– Імпульсна характеристика як реакція системи на

Друга назва - вагова функція - пов'язана з тим, що для довільного вхідного сигналу вихід системиобчислюється як згортка

. (3.11)

Тут функція якби «зважує» вхідний сигнал в підінтегральному виразі.

Імпульсна характеристика відображає лише вхід-вихідні співвідношення при нульових початкових умовах, тобто, не може повністю описувати динаміку системи.

Поняття імпульсної характеристики використовується головним чином для систем, передавальні функції яких строго правильні. Якщо передавальна функція правильна, але не строго правильна, коефіцієнт прямої передачі з входу на вихід не дорівнює нулю, тому нескінченний імпульс на вході в момент передається на вихід. Таку (нескінченну за величиною) імпульсну характеристику неможливо побудувати. Якщо система не містить інтеграторів, імпульсна характеристика прагне до нуля. Це випливає з теореми про граничні значення:

,

де - передавальна функція системи, яка є перетворенням Лапласа для . Імпульсна характеристика системи з одним інтегратором прагне до постійної величини, рівної статичному коефіцієнту передачі системи без інтегратора. Для системи з двома інтеграторами імпульсна характеристика асимптотично прагне до прямої, з трьома інтеграторами - до параболи і т.і.

Перехідною характеристикою (перехідною функцією) називається реакція системи (при нульових початкових умовах) на одиничний ступінчастий сигнал (одиничний стрибок):

. (3.12)

Приклад перехідної характеристики показано на рис. 3.3.

Імпульсна та перехідна функції пов'язані виразами

, (3.13)

. (3.14)

Рисунок 3.3 – Приклад перехідної характеристики

Для систем без інтеграторів перехідна характеристика прагне до постійного значення. Перехідна характеристика системи з диференціюючою ланкою (чисельник передаточної функції має нуль у точці ) прагне до нуля. Якщо система містить інтегруючі ланки, перехідна характеристика асимптотично прагне до прямої, параболи і т.д., в залежності від кількості інтеграторів.

За визначенням граничне значення перехідної функції приє статичним коефіцієнтом посилення:

Ця величина має сенс тільки для стійких систем, оскільки при нестійкості перехідний процес не сходиться до кінцевого значенням.

Якщо передавальна функція правильна, але не строго правильна (матриця моделі в просторі станів не дорівнює нулю), стрибкоподібне зміна вхідного сигналу миттєво призводить до стрибкоподібної зміни виходу. Величина цього стрибка дорівнює відношенню коефіцієнтів при старших степенях чисельника і знаменника передавальної функції (або матриці моделі в просторі станів).

По перехідній характеристиці можна знайти найважливіші показники якості системи - перерегулювання (overshoot) і час перехідного процесу (settling time).

Перерегулювання визначається як

(3.15)

де - максимальне значення функції, а- усталене значення виходу (рис.3.4).

Рисунок 3.4 – Визначення параметрів пере регулювання

Час перехідного процесу - це час, після якого сигнал виходу відрізняється від усталеного значення не більше, ніж на задану малу величину (за замовчуванням використовується точність 2%).