3.9 Схема дослідження функцій, заданих параметрично

 

1. Визначають область регулярності кривої та її особливі точки(singular point, singularity).

Означення 3.12. Точка називаєтьсяособливою точкою кривої , якщо параметрє розв’язком системи.

Для з’ясування характеру особливої точки необхідно знайти порядок першої відмінної від нуля похідної функцій тапри.

Нехай ,;

, .

Тоді можливі чотири випадки:

1)    якщо – непарне, а– парне, то в околі точкикрива поводить себе так само, як і в околі регулярної точки;

2)    якщо та– непарні, то– точка перегину;

3)    якщо – парне, а– непарне, то– точка звороту першого роду (рис. 3.18,а);

4)    якщо та– парні, то– точка звороту другого роду (рис. 3.18,б).

 

 

Рис. 3.18

2. Знаходять точки самоперетину кривої.

 

Означення 3.13. Точка називаєтьсяточкою самоперетину кривої (self-intersectionpoint of curve), якщо цій точці відповідають різні значення параметра і крива функції проходить через дану точку декілька разів. Параметри точки самоперетину є розв’язками системи:.

 

3. Знаходять точки, в яких дотичні паралельні координатним осям.

Оскільки , то:

1)    дотична паралельна осі , якщо;

2)    дотична паралельна осі , якщо.

 

4. Знаходять точки перегину та інтервали опуклості.

Дослідження параметрично заданої функції на опуклість аналогічне дослідженню функції з врахуванням формул

 

,                    .

 

5. Визначають асимптоти

Означення 3.14. Пряму називають похилою асимптотою графіка функції, якщо,.

 

Означення 3.15. називається вертикальною асимптою, якщо, при цьому.

 

Означення 3.16. називається горизонтальною асимптотою, якщо, при цьому.

 

6. Відмічають деякі загальні властивості кривої (наприклад, симетрію відносно будь-якої осі). Для полегшення побудови кривої знаходять декілька опорних точок (наприклад, точки перетину з осями координат).

3.10 Приклади розв’язування типових завдань з дослідження функцій, заданих параметрично

 

Приклад 3.43. Дослідити функцію ,та побудувати її графік.

Розв’язання.

1. Функції тавизначені для всіх значень параметрата диференційовні в усіх точках. Оскільки похіднітане перетворюються на нуль одночасно, то крива не має особливих точок.

 

2. З’ясуємо, чи має крива точки самоперетину. Маємо:

 

,

 

оскільки передбачається, що тарізні, то з першого рівняння випливає. Підставляючи це значення в друге рівняння, одержуємо

 

.

 

Якщо , тоі ми одержали два однакових параметра, що неможливо. Залишається єдино можливий варіант:,. Цим значенням відповідає одна точка. З’ясуємо значення кутових коефіцієнтів дотичних длята:

 

, .

 

Оскільки кутові коефіцієнти відрізняються, то через точку крива проходить двічі, тобто це є точка самоперетину.

 

3. Маємо значення кутового коефіцієнта дотичної . Оскількипри, то дотична паралельна осі абсцис в точкахта.при, тому в точцідотична паралельна осі ординат.

 

4. Оскільки ,, маємо

 

, .

 

Якщо , то опуклість кривої спрямована в додатну сторону осі ординат. Прикрива змінює характер опуклості, але тут немає перегину, оскільки в цій точці дотична паралельна осі ординат і ми повинні розглядати рівняння виду. Оскільки, то опуклість кривої спрямована у від’ємну сторону осі абсцис.

 

5. Асимптот крива не має.

 

   З рівняння кривої видно, що вона симетрична відносно осі абсцис: при зміні знака параметра tзмінюється лише знак ординати та зберігається знак абсциси (). Це означає, що достатньо побудувати криву тільки для додатних значень параметраt. Складемо допоміжну таблицю значень опорних точок:

 

t	x	y	Точка та її особливості
0	0	0	M4 (дотична паралельна осі ординат, опуклість спрямована у від’ємну сторону осі абсцис
1	1		M2 (дотична паралельна осі абсцис)
	3	0	M1(точка самоперетину)
2	4		M5

 

Крива зображена на рис. 3.19.

Рис. 3.19

 

Приклад 3.44. Дослідити функцію ,та побудувати її графік.

Розв’язання.

1. Функції тавизначені для всіх значень параметрата диференційовні в усіх точках.Оскільки, , то система сумісна при. Отже, точкабуде особливою точкою. З’ясуємо її характер.

 

, ,, отже. Тодіі. Таким чином, точкає точкою звороту другого роду.

 

2. Точок самоперетину немає, оскільки система несумісна.

 

3. Оскільки кутовий коефіцієнт дотичної , то дотична паралельна осі ординат при(в точці звороту). Дотична паралельна осі абсцис при, тобто в точці.

 

4. Знаходимо . В околі нуля, тобто крива опукла вверх. Оскількиприі примаємо, то крива опукла вверх; примаємо– крива опукла вниз (угнута). Таким чином, точка– точка перегину кривої.

 

5. Крива асимптот немає.

 

6. Характерних особливостей крива не має. Складемо допоміжну таблицю значень опорних точок:

 

t	x	y	Точка та її особливості
0	0	0	M1 (точка звороту другого роду)
	0,2947	0,3257	M2 (дотична, паралельна осі абсцис)
	0,7426	1,55	M3 (точка перегину кривої)
1	1	0	M4
-1	1	2	M5
2	16	-28	M6

 

Крива зображена на рисунку 3.20.

 

Рис. 3.20