- •Математика:
- •Текст печатается в авторской редакции Содержание
- •Предисловие
- •Методические рекомендации
- •Шкала оценок, правила вычисления рейтинга и возможности его повышения
- •Модульhо-рейтиhговая структура курса "математика”
- •Модульно-рейтинговая структура, график контроля в 1 семестре (корректируется для каждой специальности)
- •Модуль 3. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
- •1. Производная функции
- •1.1. Задачи, приводящие к понятию производной
- •1.2. Геометрический смысл производной
- •1.3. Геометрические приложения производной
- •1.4. Связь между дифференцируемостью и непрерывностью. Правила дифференцирования
- •1.5. Таблица производных основных элементарных функций
- •1.6. Производная обратной и сложной функций
- •1.7. Производные высших порядков
- •1.8. Логарифмическое дифференцирование
- •1.9. Дифференцирование неявных функций
- •1.10. Дифференцирование функций, заданных параметрически
- •1.11. Аудиторные задания и задания на повышение рейтинга
- •Свойства дифференциала
- •2.2 Применение дифференциала в приближенных вычислениях
- •2.3. Теоремы о дифференцируемых функциях
- •2.4. Правило Лопиталя
- •2.5. Аудиторные задания и задания на повышение рейтинга
- •3. Исследование поведения функций и построение графиков
- •3.1. Необходимые и достаточные условия возрастания и убывания функции
- •3.2. Признаки существования экстремумов функции
- •Достаточные условия существования экстремума
- •Правило нахождения экстремумов функции
- •3.3. Асимптоты графика функции
- •Правило нахождения точек перегиба функции
- •3.5. Общая схема исследования функций и построения графиков
- •I. Исследование с помощью элементарной математики
- •II. Исследование с помощью теории пределов
- •III. Исследование с помощью производной
- •IV. Нахождение дополнительных точек, уточняющих график
- •V. Построение графика функции
- •I. Исследование с помощью элементарной математики
- •II. Исследование с помощью теории пределов
- •3.7. Аудиторные задания и задания на повышение рейтинга
- •Найти производную неявно заданной функции
- •3. Написать уравнения касательной и нормали к кривой
- •4. Найти второй дифференциал d2y функции
- •5. Вычислить предел , используя правило Лопиталя
- •6. Исследовать функцию и построить график
- •Решение типового варианта
- •Тестовое задание к модулю 3 "Дифференциальное исчисление функции одной переменной”
- •Образец текущего контроля к модулю 3
- •Теоретические вопросы
- •Рекомендуемая литература Основная литература
- •Дополнительная литература
6. Исследовать функцию и построить график
В1. В2.
В3. В4.
В5. В6.
В7. В8.
В9. В10.
В11. В12.
В13. В14.
В15. В16.
В17. В18.
В19. В20.
7. Дана функция затрат на производство единиц продукции: Средние затраты на выпуск единицы,>0. Построить график функции средних затрат. Оценить количество продукции, минимизирующее средние затраты.
В1. ,х>0. В2. ,х>0.
В3. , х>0. В4. ,х>.,
В5. ,х>0, В6. ,х>0.
В7. ,х>0. В8. ,х>0.
В9. ,х>0. В10. ,х>0.
В11. ,х>0. В12. ,х>0.
В13. , х>0. В14. ,х>0.
В15. ,х>0. В16. ,х>0.
В17. ,х>0. В18. ,х>0.
В19. ,х>0. В20. ,х>0.
Решение типового варианта
1. Найти производные первого порядка для следующих функций:
1) .
2) .
Решения.
1).
.
2) Используем логарифмическую производную:
,
.
2. Найти производную неявно заданной функции
.
Решение. Производную неявно заданной функции находим почленным дифференцированием левой и правой частей равенства, после чего выражаем искомую производную.
. ..
3. Написать уравнения касательной и нормали к кривойв точке х=1.
Решение.
Найдем ее производную
,
В точке х=1 .
Значит, угловой коэффициент касательной равен , а уравнение касательной в точке имеет вид:
,
Угловой коэффициент нормали равен -, а уравнение нормали в точке имеет вид:
.
4. Найти второй дифференциал d2y функции
Решение.
5. Вычислить пределы по правилу Лопиталя.
1) . 2).
Решения.
1)
.
2) .
.
.
Задания 6 и 7 на исследование функций разобраны в п. 3.5.5.
Тестовое задание к модулю 3 "Дифференциальное исчисление функции одной переменной”
М-3, ТЗ - 3.1
М – Модуль
ТЗ – Тестовое задание
1. Производная функции имеет вид:
1)
2)
3)
4)
2. Производная функции f(x)=xCos(x+3)+7 равна
1) Sin(x+3)
2) xSin(x+3)+7
3) Sin(x+3)-xCos(x+3)
4) Cos(x+3)-xSin(x+3)
3. Производная функции равна
1) 7Сos2(x-10)
2) 14Sin(x-10)
3) 7Сos2(x-10)Sin(x-10)
4) 14 sin(x-10)Cos(x-10)
4. Значение первой производной функции в точкеравно
1) 2
2) 0
3) -2
4) -3
5. Достаточным условием убывания функции у(х) на интервале (a, b) является
1) y’0 на интервале (a, b)
2) y’’>0 на интервале (a, b)
3) y’<0 на интервале (a, b)
4) y’’<0 на интервале (a, b)
6. Достаточным условием выпуклости функции у(х) на интервале (a, b) является
1) y’0 на интервале (a, b)
2) y’’>0 на интервале (a, b)
3) y’<0 на интервале (a, b)
4) y’’<0 на интервале (a, b)
7. Необходимым условием локального экстремума дифференцируемой функции у(х) на интервале (a, b) является
y’’(x0)0 на интервале (a, b)
y’’(x0)>0 на интервале (a, b)
y’ (x0)=0 на интервале (a, b)
y’ (x0)<0 на интервале (a, b)
8. Предел равен (x)
1)
2) -7
3) 7
4) 0
Вертикальная асимптота функции существует в точке:
-2
-1
0
1
2
На рисунке изображен график производной функции y=f(x), заданной на отрезке [–1; 8].
Тогда точкой максимума этой функции является…
1) 3
2) 7
3) 1
4) 8