- •Математика:
- •Текст печатается в авторской редакции Содержание
- •Предисловие
- •Методические рекомендации
- •Шкала оценок, правила вычисления рейтинга и возможности его повышения
- •Модульhо-рейтиhговая структура курса "математика”
- •Модульно-рейтинговая структура, график контроля в 1 семестре (корректируется для каждой специальности)
- •Модуль 3. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
- •1. Производная функции
- •1.1. Задачи, приводящие к понятию производной
- •1.2. Геометрический смысл производной
- •1.3. Геометрические приложения производной
- •1.4. Связь между дифференцируемостью и непрерывностью. Правила дифференцирования
- •1.5. Таблица производных основных элементарных функций
- •1.6. Производная обратной и сложной функций
- •1.7. Производные высших порядков
- •1.8. Логарифмическое дифференцирование
- •1.9. Дифференцирование неявных функций
- •1.10. Дифференцирование функций, заданных параметрически
- •1.11. Аудиторные задания и задания на повышение рейтинга
- •Свойства дифференциала
- •2.2 Применение дифференциала в приближенных вычислениях
- •2.3. Теоремы о дифференцируемых функциях
- •2.4. Правило Лопиталя
- •2.5. Аудиторные задания и задания на повышение рейтинга
- •3. Исследование поведения функций и построение графиков
- •3.1. Необходимые и достаточные условия возрастания и убывания функции
- •3.2. Признаки существования экстремумов функции
- •Достаточные условия существования экстремума
- •Правило нахождения экстремумов функции
- •3.3. Асимптоты графика функции
- •Правило нахождения точек перегиба функции
- •3.5. Общая схема исследования функций и построения графиков
- •I. Исследование с помощью элементарной математики
- •II. Исследование с помощью теории пределов
- •III. Исследование с помощью производной
- •IV. Нахождение дополнительных точек, уточняющих график
- •V. Построение графика функции
- •I. Исследование с помощью элементарной математики
- •II. Исследование с помощью теории пределов
- •3.7. Аудиторные задания и задания на повышение рейтинга
- •Найти производную неявно заданной функции
- •3. Написать уравнения касательной и нормали к кривой
- •4. Найти второй дифференциал d2y функции
- •5. Вычислить предел , используя правило Лопиталя
- •6. Исследовать функцию и построить график
- •Решение типового варианта
- •Тестовое задание к модулю 3 "Дифференциальное исчисление функции одной переменной”
- •Образец текущего контроля к модулю 3
- •Теоретические вопросы
- •Рекомендуемая литература Основная литература
- •Дополнительная литература
I. Исследование с помощью элементарной математики
1. Область определения .
2. Область изменения функции .
3. и
, т.е. функция общего вида.
4. Функция алгебраическая, значит, она непериодическая.
5. Если , то, значит, график функции пересекает осьв точке. Если, то, значит, график функции пересекает осьв точке.
6. Для определения интервалов знакопостоянства отметим на числовой прямой нуль функции, т.е. . Определим знак функции в каждом интервале:,(см. рис. 8). Следовательно, на интервале график функции расположен ниже оси , а на интервале выше оси .
Рис.8
II. Исследование с помощью теории пределов
7. Так как функция элементарная, то ее область непрерывности совпадает с областью определения . Исследование на разрыв в точке и существование вертикальной асимптоты приведено в примере п. 3.3., т.е. мы установили, что– вертикальная асимптота.
8. В том же примере п. 3.3. было установлено, что горизонтальных асимптот функция не имеет, а прямая является правой и левой наклонной асимптотой.
III. Исследование с помощью производной
9. Интервалы монотонности и точки экстремума найдены в примере п. 3.2.
10. Интервалы выпуклости графика функции и точки перегиба найдены в примере п. 3.4.
IV. Нахождение дополнительных точек, уточняющих график
Для более точного построения можно в каждом из интервалов выбрать дополнительную точку, вычислить в ней значение функции и нанести на рисунок.
V. Построение графика функции
Замечание. Иногда удобно таблицы 1 и 2 совместить в одной таблице.
Пример 2. Рассмотрим функцию затрат на производство единицы продукции: . Средние затраты на выпуск единицы продукции . Построить график функции средних затрат. Оценить число выпуска единиц продукции, минимизирующих средние затраты (см. п. 3.3).
Решение. Исследуем функцию средних затрат и построим график.
I. Исследование с помощью элементарной математики
1. Область определения .
2. Область изменения функции .
3.. . Следовательно, функция общего вида.
4. Функция непериодическая.
5. Не пересекает оси координат.
6. На интервале функция положительная, и ее график расположен выше оси .
II. Исследование с помощью теории пределов
7. Функция элементарная, значит, область непрерывности совпадает с областью определения . Исследуем поведение функции в граничной точке . . Отсюда, точка - точка разрыва второго рода и прямаявертикальная асимптота.
8. Прямая правая наклонная асимптота (см. п. 3.3).
III. Исследование с помощью производной
9. критическая точка. не существует при .
Таблица 3
0 |
(0,5) |
5 |
| ||
Не сущ. |
0 |
+ | |||
Не сущ. |
12 | ||||
|
|
|
min |
|
Таким образом, выпуск 5 единиц продукции минимизирует функцию средних затрат.
10. , не существует при .
Таблица 4
0 | ||
не сущ. |
+ | |
не сущ. |
IV. Нахождение дополнительных точек, уточняющих график
V. Построение графика функции
3.6. Наибольшие и наименьшие значения функции
Пусть – непрерывная функция на замкнутом интервале . Тогда достигает свои наибольшие и наименьшие значения либо на границах интервала, либо внутри него. Внутри него это могут быть, очевидно, лишь критические точки. Отсюда следует правило нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на сегменте:
Находим производную .
Находим на критические точки функции, в которых или не существует.
Вычисляем значение функции в критических точках и на концах интервала.
Выбираем из полученных значений функции наибольшее и наименьшее.
Пример 1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке .
Решение.
1.
2. т.е.,, следовательно,– критические точки. Все эти точки принадлежат .
3. Вычислим значение функции в критических точках и на концах интервала.
.
4. ,.
Пример 2. Требуется изготовить открытый цилиндрический бак вместимостью . Стоимость 1 м2 материала, из которого изготовляется дно бака, составляет руб., а стоимость 1 м2 материала, идущего на стенки бака – руб. При каком отношении радиуса дна к высоте бака затраты на материал будут минимальными?
Решение. Составим функцию объема, зависящую от радиуса основания и высоты бака:. Тогда. Так как площадь основания, а боковая поверхность, то общая стоимость затрачиваемого материала. Выразим функциюкак функцию одной переменной:. Эта функция является непрерывной для любого. Найдем ее критические точки:
; ; Тогдаи.
Таким образом, искомый радиус .
Найдем искомое отношение .
Замечание. Одним из важнейших приложений дифференциального исчисления является формула Тейлора, которая предлагается для самостоятельного изучения.