Методы принятия решений - лекции, расчёты и ЛР / Лабораторная работа 2
.pdfМетоды принятия решений. Лабораторная работа № 2 |
11 |
Решение
1. Для оценки степеней относительной важности (весов) критериев, воспользуемся пропорциональным методом, предположив, что ЛПР считает критерий f1 в 5 раз, а критерий f3 – в 2 раза важнее наименее важного критерия f2.
fj |
коэффициент |
λj |
важности |
||
f1 |
5w |
0,625 |
f2 |
w |
0,125 |
f3 |
2w |
0,250 |
Σ |
8w |
1 |
2. Заменим критерий f3 на (– f3), для того чтобы от задачи минимизации перейти к задаче максимизации и выполним нормировку критериев по формуле
|
|
|
f |
j |
(x ) − f |
min |
|
f |
j |
(x ) = |
|
i |
j |
. |
|
|
|
|
|
||||
|
i |
f jmax − f jmin |
|||||
|
|
|
|||||
Применяя операторы взвешенной аддитивной и мультипликативной сверток к нормированным критериальным оценкам f j (xi ) и вычис-
ленным на предыдущем шаге значениям весов λj, получаем следующие интегральные оценки альтернатив.
xi |
f1 (xi ) |
f2 (xi ) |
f3 (xi ) |
f (x ) |
f |
2 |
(x ) |
f |
3 |
(x ) |
Wadd(xi) |
Wmult(xi) |
|
|
|
|
1 i |
|
i |
|
i |
||||||
0,625 |
0,125 |
0,250 |
0,625 |
0,125 |
0,250 |
||||||||
|
|
|
|||||||||||
x1 |
900 |
20 |
60 |
1 |
|
|
0 |
|
|
0 |
0,625 |
0 |
|
x2 |
500 |
30 |
20 |
0,2 |
0,25 |
|
0,8 |
0,356 |
0,291 |
||||
x3 |
700 |
36 |
40 |
0,6 |
|
0,4 |
|
0,4 |
0,525 |
0,515 |
|||
x4 |
800 |
40 |
50 |
0,8 |
|
0,5 |
|
0,2 |
0,613 |
0,533 |
|||
x5 |
400 |
60 |
15 |
0 |
|
|
1 |
|
0,9 |
0,350 |
0 |
||
x6 |
600 |
30 |
10 |
0,4 |
0,25 |
|
|
1 |
0,531 |
0,474 |
|||
x7 |
900 |
35 |
60 |
1 |
0,375 |
|
|
0 |
0,672 |
0 |
|||
x8 |
600 |
24 |
10 |
0,4 |
|
0,1 |
|
|
1 |
0,513 |
0,423 |
||
x9 |
650 |
35 |
40 |
0,5 |
0,375 |
|
0,4 |
0,459 |
0,456 |
||||
Полученные результаты хорошо иллюстрируют различие между операторами аддитивной и мультипликативной сверток: первый из них значительно более лоялен к альтернативам, имеющим по некоторым критериям низкие оценки, если эти оценки могут быть компенсированы высокими оценками по другим критериям, в то время как
Методы принятия решений. Лабораторная работа № 2 |
12 |
второй не позволяет альтернативам с низкими оценками хотя бы по одному критерию получить высокий интегральный приоритет.
Отметим, что для рассматриваемой задачи подмножество Паре- то-оптимальных альтернатив (в чем несложно убедиться, выполнив соответствующие сравнения) имеет вид P( X ) ={x3 , x4 , x5 , x6 , x7 }. Та-
ким образом, решения, полученные в результате применения обоих операторов свертки являются оптимальными по Парето, что согласуется с теорией.
3. Воспользуемся сверткой типа «расстояние до идеала». Для каждого критерия будем считать «идеальной» наилучшую из имеющихся по нему оценок, т.е. f1* =900 , f2* =60, f3* =10 . С учетом этого, перейдем от исходных критериев fj к вспомогательным критериям φj по формуле
φ |
j |
(x ) = |
f |
j |
(x ) − f * |
. |
|
|
i |
|
i |
j |
|
||
Результаты применения соответствующего оператора свертки к нормированным критериям приведены в табл.
|
xi |
φ1(xi ) |
φ2 (xi ) |
φ3 (xi ) |
φ (x ) |
φ (x ) |
φ (x ) |
|
Wideal(xi) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 i |
2 i |
3 i |
|
|||||
|
0,625 |
|
0,125 |
|
0,250 |
|
0,625 |
|
0,125 |
|
0,250 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x1 |
0 |
|
40 |
|
50 |
|
0 |
|
1 |
|
1 |
|
0,612 |
|
|
x2 |
400 |
|
30 |
|
10 |
|
0,8 |
|
0,75 |
|
0,2 |
|
0,693 |
|
|
x3 |
200 |
|
24 |
|
30 |
|
0,4 |
|
0,6 |
|
0,6 |
|
0,485 |
|
|
x4 |
100 |
|
20 |
|
40 |
|
0,2 |
|
0,5 |
|
0,8 |
|
|
0,465 |
|
x5 |
500 |
|
0 |
|
5 |
|
1 |
|
0 |
|
0,1 |
|
0,792 |
|
|
x6 |
300 |
|
30 |
|
0 |
|
0,6 |
|
0,75 |
|
0 |
|
0,543 |
|
|
x7 |
0 |
|
25 |
|
50 |
|
0 |
|
0,625 |
|
1 |
|
0,547 |
|
|
x8 |
300 |
|
36 |
|
0 |
|
0,6 |
|
0,9 |
|
0 |
|
0,571 |
|
|
x9 |
250 |
|
25 |
|
30 |
|
0,5 |
|
0,625 |
|
0,6 |
|
0,543 |
|
Выбираемое решение (помним, что критерий расстояния до идеала минимизируется) также является Парето-оптимальным.
Методы принятия решений. Лабораторная работа № 2 |
13 |
Контрольные вопросы и задания
1. Дать определение независимости критериев по предпочтению, привести примеры многокритериальных задач, в которых имеется зависимость критериев по предпочтению, и задач, в которых подобная зависимость отсутствует.
2. Привести постановку задачи многокритериальной оптимизации. 3. Дать формальное определение отношения Парето. К какому типу
отношений предпочтения оно относится?
4. Привести примеры векторных критериальных оценок, сравнимых и не сравнимых по Парето.
5. Какие решения многокритериальных ЗПР называют эффективными или Парето-оптимальными? Какова содержательная интерпретация оптимальности решения по Парето?
6. Имеется двухкритериальная ЗПР, при этом оба критерия подлежат максимизации. Множество альтернатив в пространстве критериальных оценок представляет собой единичный круг с центром в начале координат. Выделить подмножество Парето-оптимальных решений.
7. Имеется двухкритериальная ЗПР, для которой выделено подмножество Парето-оптимальных решений P(X). Из этого множества выделим подмножество альтернатив, имеющих наибольшую
оценку по первому критерию: X * = Arg max f (x) . Доказать, что: |
||
|
x P( X ) |
1 |
а) |
множество X* состоит из одного элемента (с точностью |
|
|
до равенства векторных оценок); |
|
б) |
среди всех элементов множества P(X) данный элемент имеет |
|
|
наименьшую оценку по второму критерию. |
|
8.Какие типы информации о предпочтениях ЛПР используются при построении решающих правил для многокритериальных задач?
9.В чем различие между одношаговыми и многошаговыми методами построения решающих правил в многокритериальных ЗПР?
10.В чем заключается нормировка критериев, и какова ее цель?
11.Как известно, среди одношаговых методов построения решающих правил можно выделить две группы: методы сужения множества Парето и методы сведения многокритериальной задачи к одной или нескольким однокритериальным. К какой группе относятся метод опорных множеств, лексикографическая оптимизация, методы свертки критериев, метод главного критерия?
Методы принятия решений. Лабораторная работа № 2 |
14 |
12.Какие типы информации о предпочтениях ЛПР используют методы, указанные в п. 11?
13.В чем преимущества методов, использующих порядковую информацию о важности критериев, перед методами, использующими количественную информацию, и в чем недостатки этих методов?
14.Какие сообщения может включать в себя Ω-информация?
15.В чем основная идея метода опорных множеств?
16.Гарантирует ли Ω-информация построение связного отношения предпочтения на множестве альтернатив?
17.В чем идея метода сравнения векторных критериальных оценок на основе информации о равноценности всех критериев? Можно ли, располагая указанной информацией, производить сравнение путем суммирования для каждой альтернативы ее критериальных
оценок?
18. Какой тип информации, помимо количественной информации о важности критериев, используется при построении решающих правил на основе взвешенной свертки критериев?
19.В чем основная идея методов простого ранжирования и пропорционального, используемых для оценки степеней относительной важности (весов) критериев?
20.Привести формальные определения изученных операторов взвешенной свертки критериев.
21.Доказать, что при любом допустимом наборе весов критериев операторы аддитивной и мультипликативной свертки всегда вы-
деляют Парето-оптимальное решение.
22. В каком случае многокритериальную ЗПР называют задачей
в лексикографической постановке?
23.Дать формальное определение лексикографического отношения предпочтения. Обладает ли это отношение свойством связности?
24. Сформулировать набор однокритериальных задач, решаемых
в рамках лексикографической оптимизации.
25.Доказать, что решение, полученное методом лексикографической оптимизации, всегда является Парето-оптимальным.
26.Имеется двухкритериальная ЗПР, при этом оба критерия подлежат максимизации. Множество альтернатив в пространстве критериальных оценок представляет собой правильный восьмиугольник, две пары сторон которого параллельны осям координат. Какое
Методы принятия решений. Лабораторная работа № 2 |
15 |
решение будет выбрано, если критерии имеют лексикографиче-
L |
L |
ское упорядочение по важности вида: а) f1 f2 ; б) f2 |
f1 ? |
27.Требуется выбрать стратегию реализации проекта из множества X = (x1, x2, x3) по трем критериям:
•f1→ max – вероятность завершения проекта в требуемый срок;
•f2→ min – затраты на ресурсы, тыс. ден. ед.;
•f3→ min – количество внештатных сотрудников, дополни-
тельно привлекаемых по договору подряда, чел.
Оценки стратегий приведены в табл. Кри- |
xi |
f1(xi) |
f2(xi) |
f3(xi) |
терии упорядочены по важности лексико- |
x1 |
0,7 |
180 |
4 |
графически. |
x2 |
0,85 |
210 |
2 |
Какую стратегию следует выбрать, если |
x3 |
0,85 |
235 |
0 |
порядок важности критериев имеет вид: |
|
|
|
|
а) f1 f2 f3 ; б) f1 f3 f2 ?
28.В чем основная идея метода главного критерия? Привести формальную модель оптимизационной задачи, решаемой в рамках применения данного метода.
29.Привести пример ситуации, когда применение метода главного критерия не гарантирует выделение Парето-оптимального решения. Как можно модифицировать данный метод, чтобы устранить указанный недостаток?
30.Предприятие выбирает технологическую линию для оснащения производственного участка по следующим трем критериям:
• |
f1→ max – производительность, |
xi |
f1(xi) |
f2(xi) |
f3(xi) |
|
изделий в час; |
x1 |
42 |
180 |
36 |
• |
f2→ min – стоимость приобретения, |
x2 |
45 |
210 |
32 |
|
тыс. ден. ед.; |
x3 |
42 |
165 |
32 |
• |
f3→ min – продолжительность |
x4 |
38 |
150 |
24 |
|
обучения персонала, часов. |
x5 |
44 |
195 |
45 |
Имеется 5 альтернативных вариантов, критериальные оценки которых приведены в табл.
Решить задачу методом главного критерия, при условии, что «главным» является критерий f1, а для остальных двух критериев установлены следующие ограничения: f2(x) ≤ 200; f3(x) ≤ 40.