Примерные варианты контрольных работ Контрольная работа №1

1. Решить матричное уравнение.

Ответ: .

2. Решить систему методом Гаусса.

Ответ: (-1;2;0).

3. Даны вершины пирамиды АВСD: А(3;3;8), В(6;7;-2), С(2;6;3), D(3;6;5).

а) Построить пирамиду АВСD;

б) Найти объем пирамиды АВСD;

в) Найти площадь грани АВС;

г) Найдите косинус угла между векторами и;

д) Найдите проекцию вектора на вектор.

Ответ: б) 6; в) ; г); д).

4. Найдите длину вектора , если,.

Ответ: .

Контрольная работа №2

1. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы .

Ответ: ,.

2. Написать уравнение прямой, проходящей через правый фокус гиперболы 16х²-9у²=144, параллельно асимптоте этой гиперболы, образующей тупой угол с осью Ох.

Ответ: 4х+3у+20=0.

3. Найти угол между прямыми и.

Ответ: .

4. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку А(3;1;-2) перпендикулярно прямой .

Ответ: 13х-11у-7z-42=0.

Теоретические вопросы к экзамену

1. Матрицы и их виды.

2. Операции над матрицами и их свойства.

3. Определители и их свойства. Способы вычисления определителей.

4. Обратная матрица: определение и вычисление с помощью алгебраических дополнений.

5. Вычисление обратной матрицы с помощью элементарных преобразований строк.

6. Решение матричных уравнений.

7. Ранг матрицы. Различные способы определения и нахождения.

8. Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Теорема Кронекера - Капелли.

9. Методы решения определенных СЛАУ (матричный, Крамера, Гаусса).

10. Однородные и неоднородные СЛАУ размера mn. Общее решение однородной системы.

11. Векторы: длина и направление, коллинеарность и компланарность. Равенство векторов.

12. Линейные операции над векторами и их свойства.

13. Линейная зависимость и независимость. Теоремы о линейной зависимости.

14. Геометрический смысл линейной зависимости на плоскости и в трехмерном пространстве.

15. Базис и система координат. Единственность разложения вектора по базису. Теоремы о координатах суммы векторов и произведении вектора на число.

16. Проекция вектора на ось. Теоремы о проекции вектора на ось.

17. Скалярное произведение векторов и его свойства. Выражение скалярного произведения через координаты сомножителей.

18. Векторное произведение векторов и его свойства. Выражение векторного произведения через координаты сомножителей.

19. Смешанное произведение векторов и его свойства. Выражение смешанного произведения через координаты сомножителей.

20. Полярная система координат на плоскости.

21. Линейное векторное пространство.

22. Преобразование координат вектора при смене базиса.

23. Евклидовы, нормированные и метрические пространства. Неравенства Коши - Буняковского и треугольника.

24. Линейные операторы. Матрица линейного оператора. Изменение матрицы линейного оператора при смене базиса.

25. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.

26. Вид матрицы линейного оператора в базисе из собственных векторов.

27. Деление отрезка в заданном отношении.

28. Различные виды уравнений прямой на плоскости.

29. Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости. Расстояние от точки до прямой.

30. Геометрический смысл неравенств первого порядка.

31. Различные виды уравнений плоскости в пространстве.

32. Угол между плоскостями, условия параллельности и перпендикулярности плоскостей. Расстояние от точки до плоскости.

33. Различные виды уравнений прямой в пространстве. Расстояние от точки до прямой в пространстве.

34. Взаимное расположение прямых в пространстве.

35. Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве.

36. Эллипс.

37. Гипербола.

38. Парабола.

39. Оптические свойства эллипса, гиперболы и параболы.

40. Преобразование декартовых координат.

41. приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду.

42. Инварианты общего уравнения кривой второго порядка

43. Классификация кривых второго порядка.

44. Основные поверхности второго порядка: сфера, эллипсоид, гиперболоиды и параболоиды.

45. Цилиндрические поверхности.

46. Конические поверхности.

47. Классификация поверхностей второго порядка.