Решение

Уравнение средней квадратической регрессии случайной величины Y на случайную величину Х в классе линейных функций имеет вид:

.

Для нахождения числовых характеристик , , , восстановим по заданному закону двумерной величинызаконы распределения составляющихX и Y.

X	0	1	2	3		Y	2	4	6
P	0,2	0,2	0,4	0,2		P	0,45	0,3	0,25

Математические ожидания и вычисляем по формулам

.

.

Для нахождения средних квадратических отклонений исначала вычисляем дисперсии , .

Следовательно, .

Коэффициент корреляции вычисляем по формуле,

где – корреляционный момент случайной величины.

.

. .

Подставляя найденные числовые характеристики в формулу, получаем уравнение прямой линии средней квадратической регрессии случайной величины Y на случайную величину Х.

или .

Уравнение средней квадратической регрессии случайной величины X на случайную величину Y в классе линейных функций имеет вид:

.

Подставляя найденные числовые характеристики, получаем следующее уравнение прямой линии регрессии X на Y

или .

2. Элементы математической статистики

Литература. [1 гл. 7 §1–4]; [2 гл. X, гл. XI §1, §2]; [3 § 12, § 14]; [4 гл. 9, гл. 10 §1, §4, гл. 13 §16]; [5 гл. 5 §3, §8–12, гл. 6 §1, §5].

Вопросы для самопроверки

1. Что называется выборкой? Что такое выборочное среднее?

2. В каком случае выборочная оценка статистического параметра будет называться несмещенной?

3. Что такое выборочная дисперсия? Какова несмещённая оценка для дисперсии?

4. Что называется доверительным интервалом для параметра распределения случайной величины?

5. Как найти доверительный интервал для математического ожидания нормальной случайной величины?

6. Как найти доверительный интервал для дисперсии нормальной случайной величины?

7. Что такое статистическая гипотеза?

8. Какова общая схема проверки статистических гипотез?

9. В чём состоит критерий ² (Пирсона) для проверки статистической гипотезы?

Пример 7. В результате независимых испытаний получены 50 значений непрерывной случайной величины Х.

1. Нàéòè íåсмещённые оценки математического ожидания и дисперсии .

1. Предполагая, что случайная величина Х распределена по нормальному закону, найти:

а) доверительные интервалы для , соответствующие доверительным вероятностям 0,95 и 0,9;

б) доверительные интервалы для , соответствующие доверительным вероятностям 0,95 и 0,9.

3. Проверить гипотезу о том, что случайная величина Х распределена по нормальному закону. Для проверки гипотезы использовать критерий ² (Пирсона) при уровнях значимости 0,05 и 0,01.

8,3	3,8	3,6	4,8	2,9	3,2	7,4	2,5	3,5	–2,9
3,2	5,6	3,3	3,4	0,7	3,3	–1,7	1,7	–1,8	3,4
0,1	8,2	–1,6	2,4	4,5	7,2	3,1	–0,3	2,4	2,0
1,7	–3,3	6,3	3,1	3,9	2,0	4,5	–0,2	5,5	7,0
1,9	5,7	1,3	2,2	5,2	5,1	–0,9	6,8	2,2	–2,6

Решение

1. Несмещённой оценкой является выборочное среднее .

.

Несмещённой оценкой является статистика .

.

2. Доверительный интервал для , соответствующий доверительной вероятности , имеет вид , где числонаходится с помощью таблиц распределения Стьюдента сстепенями свободы из условия[4].

Доверительной вероятности и числу степеней свободы49 соответствует . Подставляя в формулу, получаем следующий доверительный интервал для , соответствующий :.

Доверительной вероятности и числу степеней свободы49 соответствует . Подставляя в формулу, получаем следующий доверительный интервал для , соответствующий :.

Доверительный интервал для , соответствующий доверительной вероятности , имеет вид , где числонаходится с помощью таблиц стандартного нормального распределения из условия.

Доверительной вероятности соответствует. Подставляя в формулу, получаем следующий доверительный интервал для , соответствующий :.

Доверительной вероятности соответствует. Подставляя в формулу, получаем следующий доверительный интервал для , соответствующий :.

3. Для проверки гипотезы интервал возможных значений случайной величиныХ разбиваем на 5 промежутков. Границы промежутков определяются равенствами

,

где – квантиль стандартного нормального распределения (квантильопределяется равенством).

В частности .

Подставляя в формулы, получаем следующие границы промежутков: .

Подсчитаем число выборочных значений в каждом из промежутков:n₁ = 10; n₂ = 7; n₃ = 16; n₄ = 7; n₅ = 10.

Вычисляем значение , гдеn = 50, , – число выборочных значений в i-ом промежутке.

.

Сравниваем вычисленное значение ² с критическим значением , найденным с помощью таблиц² –распределения по заданному уровню значимости  и числу степеней свободы 2.

Уровню значимости  = 0,01 и числу степеней свободы 2 соответствует . Так как² <  (5,4 < 9,2), то на уровне значимости  = 0,01 отвергнуть гипотезу о том, что случайная величина X распределена по нормальному закону, нет оснований.

Уровню значимости  = 0,05 и числу степеней свободы 2 соответствует . Так как² <  (5,4 < 6,0), то на уровне значимости  = 0,05 отвергнуть гипотезу о том, что случайная величина X распределена по нормальному закону, нет оснований.

После изучения темы XX выполните контрольную работу №8.

Ниже приведена таблица номеров задач, входящих в две контрольные работы, которые выполняются студентами в четвёртом семестре. Студент должен выполнить контрольные задания по варианту, номер которого совпадает с последней цифрой его учебного номера (шифра).

Вариант	Номера задач контрольных заданий
	7					8
1	1	11	21	31	41	51	61
2	2	12	22	32	42	52	62
3	3	13	23	33	43	53	63
4	4	14	24	34	44	54	64
5	5	15	25	35	45	55	65
6	6	16	26	36	46	56	66
7	7	17	27	37	47	57	67
8	8	18	28	38	48	58	68
9	9	19	29	39	49	59	69
0	10	20	30	40	50	60	70