Решение
Рассмотрим следующие случайные события:
H1 – из первого ящика переложили во второй 2 белых шара;
H2 – из первого ящика переложили во второй 2 чёрных шара;
H3 – из первого ящика переложили во второй 1 белый и 1 чёрный шар;
B – в первом ящике осталось не более 2х белых шаров;
С – шар, извлечённый из второго ящика, – белый.
Найдём вероятности событий H1 , H2 , H3 .
;
;
.
(
;
;
;
).
1. Событие B состоит в том, что произошло или событие H1 (тогда в первом ящике остался только один белый шар), или событие H3 (при этом в первом ящике осталось два белых шара), т.е. В = H1 + H3 . Так как события H1 и H3 несовместны, то
.
2. Для вычисления вероятности события C воспользуемся формулой полной вероятности.
События H1 , H2 , H3 образуют полную группу событий. Найдём условные вероятности события C:
;
;
.
Поэтому
3. В третьем пункте
задачи речь идёт о том, что надо найти
вероятность события H3
(«шары, переложенные во второй ящик,
были разного цвета») при условии, что
произошло событие C
(«из второго ящика достали белый шар»),
т.е. следует найти
.
Эту вероятность найдём по формуле
Бейеса:
.
Пример 2. Вероятность наступления события в каждом из n одинаковых и независимых испытаний равна p. В пунктах а), б) и в) найти вероятность того, что в этих испытаниях событие появится k раз; в пункте г) найти вероятность того, что событие появится не менее раз и не более раз.
a) p = 0,45, n = 8, k = 4; б) p = 0,02, n = 300, k = 5;
в) p = 0,7, n = 2100, k = 1500; г) p = 0,375, n = 1375, = 525, = 545.
Решение
а) Если вероятность появления события в каждом независимом испытании постоянна и равна p, то вероятность появления события ровно k раз в серии из n испытаний вычисляется по формуле Бернулли
,
где
.
.
Заметим,
что расчёты по формуле Бернулли при
больших n
достаточны сложны. Поэтому вероятность
находится приближенно.
б) Если число независимых испытаний n велико (n>100), а вероятность p появления события в каждом них мала (p0,3), то для приближенного вычисления вероятности появления события ровно k раз в серии из n испытаний используется формула Пуассона
,
где
.
Условия
пункта б) удовлетворяют вышеуказанным
требованиям (n = 300 > 100,
p = 0,02 < 0,3).
Находим
.
.
в) Если n достаточно большое и np 7, то формула Пуассона даёт большую погрешность. В этом случае для вычисления используют локальную теорему Лапласа:
,
где
.
Функция
табулирована, её таблицы приведены в
приложении учебника [4]. В таблицах
помещены значения функции только для
положительных значений аргументах.
Для отрицательных значений х
использует те же таблицы, так как
рассматриваемая функция – чётная.
.
г) Если нас интересует вероятность, что событие появится не менее раз и не более раз при большом n, применяют формулу, которая выражает содержание интегральной теоремы Лапласа:
,
где (х)
(x) – функция Лапласа – также табулирована [4]. Уже при x = 5 функция (x) очень мало отличается от 0,5 ((5) = 0,499997). Поэтому для всех x>5 принимается, что (x) 0,5. Функция Лапласа – нечётная функция, т.е. (– x) = – (x).
В нашем случае
