2. Случайные величины

Литература. [1 гл. 5, гл. 6 §1–3]; [2 гл. II §1, §7, §8, гл. III §1, §2, §4, гл. V §1, §2]; [3 §5]; [4 гл. 4 §1–3, гл. 6 §1–6]; [5 гл. 3].

Вопросы для самопроверки

1. Что такое случайная величина. Приведите примеры.

2. Дайте определение функции распределения случайной величины и укажите её свойства.

3. Сформулируйте определение плотности распределения вероят-ностей и укажите её свойства.

4. Что называется математическим ожиданием случайной величины. Укажите его свойства.

5. Дайте определение дисперсии случайной величины и укажите её свойства.

6. Что такое среднее квадратическое отклонение случайной величины.

7. Дайте описания дискретных и непрерывных распределений: биномиального, пуассоновского, нормального, показательного, равномер-ного.

8. Как найти вероятность попадания случайной величины в заданный интервал, если она распределена по нормальному или показательному закону?

9. Сформулируйте центральную предельную теорему.

Пример 3. Задан закон распределения дискретной случайной величины X. Найти , , и.

X	0	1	2	3
P	0,1	0,2	0,3	0,4

Решение

1. Математическое ожидание вычисляем по формуле .

.

2. Дисперсию вычисляем по формуле .

.

3. Среднее квадратическое отклонение .

4. Вероятность .

Пример 4. Непрерывная случайная величина X подчинена закону распределения с плотностью Найти коэффициента, числовые характеристики , , , функцию распределенияи.

Решение

1. Для определения коэффициента а используем свойство плотности распределения .

. ..

2. Функцию распределения вычисляем по формуле .

При .

При . .

При . .

Таким образом, функция распределения

3. Математическое ожидание вычисляем по формуле .

.

4. Дисперсию вычисляем по формуле .

.

.

5. Среднее квадратическое отклонение .

6. Вероятность попадания на отрезок вычисляем по формуле.

.

Пример 5. Случайная величина Х распределена по нормальному закону. Найти среднее квадратическое отклонение случайной величины Х и вероятность , если известно, что и .

Решение

Для случайной величины X, распределенной по нормальному закону с параметрами a и , , гдеФ(x) – функция Лапласа.

; ;

; по таблице функции Ф(x) находим, что;.

.

После изучения темы XIX выполните контрольную работу №7.

Тема XX. Многомерные случайные величины. Элементы математической статистики

1. Двумерные случайные величины

Литература. [1 гл. 8 §1, §2, §4, §6]; [2 гл. VI §1, гл. IX §1, §2]; [4 гл. 8 §1–3, гл. 12 §1]; [5 гл. 3 §9, гл. 10 §1, §2].

Вопросы для самопроверки

1. Как задаётся закон распределения двумерной дискретной случайной величины?

2. Как определяются законы распределения составляющих, если известен закон распределения двумерной случайной величины?

3. Что такое корреляционный момент? Что такое коэффициент корреляции? Укажите свойства коэффициента корреляции.

4. Как определяются условные законы распределения случайных величин по заданному закону распределения двумерной случайной величины?

5. Как в общем случае ставится задача отыскания функции регрессии случайной величины X на случайную величину Y (случайной величины Y на случайную величину X)?

6. Как записывается уравнение средней квадратической регрессии случайной величины в классе линейных функций?

Пример 6. Найти уравнения прямой линии средней квадратической регрессии случайной величины Y на случайную величину Х и случайной величины Х на случайную величину Y по заданному закону двумерной случайной величины :

X Y	0	1	2	3
2	0,1	0,1	0,25	0
4	0	0,1	0	0,2
6	0,1	0	0,15	0