6. Тематика экзаменационных задач
1. Определение параметра функции, при котором она будет непрерывной.
2. Определение точек разрыва функции и исследование их характера.
3. Вычисление предела функции.
4. Производная функции у=f(x).
5. Производная функции, заданной параметрически.
6. Производная неявной функции.
7. Дифференциал функции.
8. Касательная и нормаль к графику функции.
9. Определение траектории, скорости и ускорения точки.
10. Правило Лопиталя.
11. Возрастание и убывание функций.
12. Определение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке.
13. Тестовая задача о наибольших и наименьших значениях величин.
14. Экстремум функции.
15. Направления выпуклости и точки перегиба кривой.
16. Асимптоты графика функции.
17. Исследование функции и построение ее графика.
18. Вычисление кривизны кривой.
19. Вычисление неопределенного интеграла.
20. Вычисление определенного интеграла.
21. Вычисление несобственных интегралов.
22. Вычисление площади криволинейной трапеции, прилежащей к оси Ох или к оси Оу.
23. Вычисление площади плоской фигуры, ограниченной кривыми у=f1(x) и y=f2(x), прямыми х=а и х=b.
24. Вычисление площади плоской фигуры, ограниченной кривыми х=φ1(у) и х=φ2(у), прямыми у=с и y=d.
25. Вычисление площади плоской фигуры, ограниченной параметрически заданными кривыми.
26. Вычисление площади плоской фигуры, заданной в полярных координатах.
27. Вычисление длины дуги плоской кривой, заданной уравнением у=f(x) или х=φ(у).
28. Вычисление длины дуги плоской кривой, заданной параметрическими уравнениями.
29. Вычисление длины дуги плоской кривой, заданной в полярной системе координат.
30. Вычисление объема тела по известным площадям параллельных сечений.
31. Вычисление объема тела вращения.
32. Вычисление площади поверхности вращения.
33. Определение координат центра масс однородной плоской фигуры.
34. Определение пути, пройденного телом по заданной скорости движения.
7. Примеры экзаменационных задач
1. Найти предел
2. Найти точки разрыва функции
и исследовать их характер.
3. Найти у' из уравнения
4. Составить уравнения касательных к гиперболе у=(2х–1)/(x+2), которые перпендикулярны прямой х+5у+1=0.
5. Из куска проволоки длиной L согнуть прямоугольник, чтобы его площадь была наибольшей.
6. Найти несобственный интеграл
7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
у= х2−6х+10, у=2, у=5.
8. Вычислить площадь фигуры, ограниченной четырехлепестковой розой r=4sin2φ.
9. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями: у=(х–2)2 и у=х.
10. Точка перемещается по прямой со скоростью v=(1+t1/2)-1 м/с. Найти путь, пройденный точкой за первую секунду движения.
Перечень знаний, навыков и умений для получения удовлетворительной оценки
Для получения удовлетворительной оценки студент должен:
знать основные понятия, теоремы и формулы, а также уметь применять их при решении типовых задач;
усвоить методы решения стандартных задач введения в анализ, дифференциального и интегрального исчислений функций одной переменной.
Приведем тематику типовых задач:
вычисление предела функции с использованием замечательных пределов;
дифференцирование произведения двух функций, частного двух функций, функции от функции;
определение касательной к графику функции в заданной точке;
определение интервалов монотонности функции;
определение экстремума функции;
наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке;
выпуклость графика функции и точки перегиба;
асимптоты графика функции;
исследование функции и построение графика;
метод непосредственного интегрирования;
метод интегрирования подстановкой (заменой переменной);
метод интегрирования по частям;
интегрирование рациональных функций (отношения двух многочленов не выше второй степени);
интегрирование тригонометрических функций;
вычисление определенного интеграла;
вычисление площади плоской фигуры.