Решение:

Согласно теории, монополист заработает максимум выручки при линейной функции спроса Q(D) = b – aP, если продавать продукцию:

• по цене (P), равной половине запретительной цены (А/2) и

• при объёме продаж, равном половине массы насыщения (В/2) (см. задачу 4.3 и рис. 4.5).

а) Найдём значения запретительной цены и массы насыщения, если спрос на продукцию монополиста задан линейной функцией:

Q(D) = b – aP.

• При P = 0 значение Q(D) = В = b (величина массы насыщения). Объём производства, при котором монополист получит максимум выручки, определим по формуле Q = B/2 = b / 2. Тогда, если вместо величины, соответствующей половине массы насыщения мы подставим ее значение, то получим следующее выражение: 100 = b / 2. Отсюда коэффициент b = 200.

• При Q(D) = 0 цена P = A = b/a (величина запретительной цены). Цену, при которой монополист получает максимальную выручку, определим по формуле P = A / 2 = b / 2a. Если вместо величины, соответствующей половине запретительной цены мы подставим ее значение, то получим следующее выражение: 25 = 200 / 2a. Отсюда, значение коэффициента а = 4.

б) Подставим полученные значения коэффициентов в линейную функцию спроса: Q(D) = b – aP. Формула линейной функции спроса на продукцию монополиста примет вид: Q(D) = 200 – 4P.

Ответ: Q(D) = 200 – 4P.

5.5. Кривая рыночного спроса на продукцию монополии задана следующей функцией P(Q) = 40 – bQ. Предельные затраты составляют: МС = 20. Найдите цену, при которой достигается максимум прибыли.

Решение:

• Цена монополиста, в точке максимизирующей его прибыль определим по формуле P = AR = TR / Q. Величина общего дохода TR = (40 - bQ) × Q = 40Q - bQ². Тогда P = (40Q - bQ²) / Q = 40 - bQ .

• Объем производства, максимизирующий прибыль монополиста, достигается в точке MC = MR. Значение МС нам известно. Найдем значение MR, взяв первую производную общих издержек. Тогда MR = (TR)' = (40Q – bQ²)' = 40 - 2 bQ.

• Приравняв MC и MR, мы можем определить объем производства, максимизирующий прибыль монополиста. Так, если 40 - 2bQ = 20, то Q = 10 / b.

• Подставим в формулу цены: P = 40 - bQ значение Q = 10 / b. Отсюда цена монополиста P = 30.

Ответ: 30.

Закрепите свои умения и навыки

5.6. Даны функция издержек монополиста и функции спроса на продукцию этой монополии на двух рынках:

TC = ½ Q² - 10Q + 15; Q(1) = 100 – 4P(1); Q(2) = 100 – 2P(2).

А) Найдите объёмы продаж и цены на каждом из двух рынков, при которых прибыль монополии будет максимальной (ценовая дискриминация).

Б) Как изменятся объём продаж и цена, если ценовая дискриминация будет запрещена государством?

Ответ:

А) Q(1) = 5; P(1) = 23,75;

Q(2) = 27,5; P(2) = 36,25.

Б) Q = 32,5; P = 27,88.

5.7. Издержки производства и общая выручка монополиста заданы следующими формулами ТС = 4Q + 6 и TR = 10Q – Q² соответственно.

Найдите оптимум производителя-монополиста.

Ответ: Q = 3; P = 7.

5.8. Определите формулу линейной функции спроса на продукцию фирмы - монополиста, если известно, что он получает максимальную выручку в точках P = 150 и Q = 450.

Ответ: Q(D) = 900 – 3P.

9. Даны функции общих издержек и выручки монополиста:

ТС = ½Q² + 20Q + 90;

TR = 140Q – 3/2 Q².

Определите ценовую эластичность рыночного спроса в точке максимальной прибыли.

Ответ: 2,1.

5.10. Дана функция издержек монополиста TC = ¼ Q² + 10Q + 300 и

функции спроса на продукцию этой монополии на двух рынках:

Q(1) = 400 – 2P(1) и Q(2) = 600 – 4P(2). Известно, что максимум прибыли монополиста равен 14 552 д.е. Найдите величину постоянных издержек.

Ответ: 300.