Решение:

Для определения ценовой эластичности рыночного спроса монополиста воспользуемся коэффициентом Лернера (L):

(P – MC) / P = 1 / |Ed|.

По условию задачи мы располагаем функциями цены и общих издержек фирмы. Следовательно, определив объём производства, при котором фирма – монополист получает максимум прибыли, мы сможем найти соответствующее значение цены и рассчитать ценовую эластичность рыночного спроса.

Первый способ:

а) Определим объём производства, максимизирующий прибыль, используя правило максимизации MR = MC.

MR = (TR)’ = (P×Q)’=((52 – 2Q) × Q)' = (52Q – 2Q²)' = 52 – 4Q;

MC = (TC)’ = (120 – 8Q + Q²)' = 2Q – 8.

Приравняем значения соответствующих выражений MR и MC. Мы получим следующее выражение: 52 – 4Q = 2Q – 8. Отсюда, объём продукции, максимизирующий прибыль монополиста, составит 10 ед.

б) Монопольная цена фирмы в точке, максимизирующей прибыль, должна быть равна величине среднего дохода (AR).

Рассчитаем величину среднего дохода по формуле: AR = TR / Q, где TR = 52Q – 2Q², а Q = 10.

Отсюда, величина среднего дохода составит:

AR = 32 д.е. (52Q – 2 Q²) / Q = 52 – 2Q = 52 - 2 × 10).

Тогда монопольная цена фирмы (P) будет 32 (т.к. AR = 32).

в) Определим величину предельных издержек MC = 2Q – 8 в точке, максимизирующей прибыль. Мы получим: MC = 2 × 10 – 8 = 12.

г) Для определения ценовой эластичности рыночного спроса монополиста воспользуемся индексом Лернера (L):

(P – MC) / P = 1 / |Ed|.

• (32 – 12) / 32 = 1 / |Ed|

• 1,6 = 1 / |Ed| ==>

• Ed = 1,6.

Второй способ:

По условию задачи, мы располагаем функциями монопольной цены и общих издержек монополиста. Для того, чтобы найти ценовую эластичность рыночного спроса в точке максимальной прибыли, мы должны знать величину монопольной цены и предельных издержек.

а) Вычислим величину монопольной цены P = 52 – 2Q. Из формулы цены мы видим, что нам не хватает значения объёма производства (Q), максимизирующего прибыль. Для его исчисления воспользуемся формулой прибыли PR = TR – TC, где TR = P × Q. Если мы приравняем производную функции прибыли к нулю, то сможем определить объём производства, максимизирующий прибыль.

• Запишем формулу прибыли:

PR = (52 – 2Q) × Q – (120 - 8Q + Q²) = 52Q – 2 Q² – (120 - 8Q + Q²) =>

PR = 60Q – 3Q² – 120.

• Приравняем производную функции прибыли к нулю и определим объём производства, максимизирующий прибыль:

(PR)' = (60Q – 3Q² – 120)' = 60 – 6Q.

60 – 6Q = 0;

Q = 10ед.

Отсюда, величина монопольной цены P = 52 – 2 ×10 = 32 д.е.

б) Найдем значение предельных издержек.

Функция предельных издержек есть первая производная общих издержек: MC = (TC)’ = (120 – 8Q + Q²)' = 2Q – 8. Если мы подставим значение объема производства, максимизирующего прибыль, в формулу функции предельных издержек, тополучим соответствующее значение MC = 2Q – 8 = 2×10 – 8 = 12.

в) Ценовую эластичность рыночного спроса Ed рассчитаем по формуле: (P – MC) / P = 1 / |Ed|.

• (32 – 12) / 32 = 1 / |Ed|;

• 20 / 32 = 1/ |Ed|;

• Ed = 1,6.

Ответ: Ed = 1,6. Чем более эластичен спрос, тем меньшей рыночной властью обладает фирма.

5.4. Даны значения цены и объёма выпуска продукции, при которых монополист получает максимальную выручку P = 25 и Q = 100.

Выведим формулу линейной функции спроса на продукцию монополиста.