4. Подбор теоретического закона распределения (первая задача математической статистики).

Как правило, принципиальный вид теоретической кривой выбирается заранее, исходя из природы случайной величины. В некоторых случаях теоретическое распределение подбирается по внешнему виду статистического распределения.

При этом параметры теоретического распределения подбираются по методу моментов.

Начальным моментомs-го порядка дискретной случайной величины называется сумма вида

а_s(x) =, (5.3)

где x_i– значения случайной величины;

p_i– вероятности значенийx_i;

n– число различных значенийx_i.

Центральным моментомs-го порядка называют выражение

M_s=, (5.4)

где m_x– математическое ожидание (среднее статистическое) случайной величины.

Очевидно, начальным моментом 1-го порядка является математическое ожидание (среднее статистическое):

a₁(x) =m_x=. (5.5)

Центральный момент второго порядка – дисперсия

М₂(x) =D_x=. (5.6)

Смысл метода моментов заключается в следующем:

- моменты теоретического распределения приравниваются к моментам статистического распределения;

- число приравниваемых моментов должно равняться числу параметров теоретического распределения, для нормального распределения это число равно двум,

- практика показывает, что не следует рассматривать более четырех моментов.

5. Критерий согласия Пирсона (вторая задача математической статистики)

Критерии согласия служат для оценки правильности аппроксимации данного статистического распределения теоретической кривой.

Пусть имеется статистическое распределение nзначений случайной величиныF^*(X)и имеется гипотезаH, состоящая в том, что величинаxимеет функцию распределенияF(x).

Для того, чтобы принять или опровергнуть гипотезу H, рассмотрим некоторую величину (χ²), характеризующую меру расхождения теоретического и статистического распределений. Эта величина определяется следующим образом.

Представим статистическое распределение случайной величины F^*(X) в виде гистограммы с интерваломhи подсчитаем частоты попадания значенияn_iфункцииF^*(X) в каждый интервал. Определим также вероятностиp_i попадания в соответствующие интервалы теоретической функцииF(x).

Мера расхождения χ² вычисляется по формуле:

χ²==, (5.7)

здесь с_i – «вес» интервала, который берется равнымс_i=;

k– число интервалов;

p_i^*= - относительная частота попадания вi-й интервал значений функцииF^*(X).

Очевидно, что мера χ² также является случайной величиной, зависящей от теоретического законаF(x) и числа опытовn.

Меру χ² , вычисленную по формуле (5.7), сопоставляют с критическим значением χ²_кр , выбираемым по специальным таблицам в зависимости от надежностиР, с которой мы проверяем принятую гипотезу, а также отn– числа значений случайной величиныF^*(X) и числа степеней свободыr = k – v, гдеv– число параметров теоретического распределения плюс 1 (для нормального распределенияv= 3).

Если окажется, что χ² ≤ χ²_кр, то гипотезуHследует признать верной.

Пример.

Дана гистограмма значений прочности бетона, которая аппроксимируется нормальным законом распределения. Требуется проверить правильность этой гипотезы исходя из вероятности Р=0,9.

Ri (МПа)	28-32	32-36	36-40	40-44	44-48	48-52
р*i	0,05	0,15	0,36	0,3	0,1	0,04

Определим среднее значение и среднеквадратическое отклонениеs_R.

=300,05+340,15+380,36+420,3+460,1+500,04≈40 МПа;

s_R = .

Соответствующие интервалам теоретические вероятности составят:

0,05; 0,15; 0,30; 0,30; 0,15; 0,05.

Мера расхождения:

χ² =.

Критическое значение равно χ²_кр= 0,584. Поскольку χ²< χ²_кр, гипотеза о нормальном распределении принимается.