2. Сложение и умножение вероятностей

Суммой А+Вдвух событийАиВназывают событие, состоящее в появлении событияАили событияВ, или обоих этих событий одновременно.

Вероятность суммы двух несовместных событий равна:

Р(А+В) = Р(А) + Р(В). (1.2)

Вероятность суммы несовместных событий А₁,..., А_n, образующих полную группу, равна 1 , т.е.

Р(А₁+ А₂+ ...+ А_n) =Р(А₁) + ... +Р(А_n) = 1. ( 1.3)

Для противоположных событий А и

Р(А) +Р() = 1. ( 1.4)

Пример.

На мосту с пролетами 15+24+21м находится единичная колесная нагрузка НК-80. Расположение ее в пределах одного из трех пролетов есть событие, несовместное с расположением в пределах других пролетов. Нахождение нагрузки в каждой точке по всей длине моста равновероятно.

Найти вероятности положения нагрузки на каждом из пролетов.

Решение.

Вероятность нахождения нагрузки НК-80:

на пролете 1 - ;

на пролете 2 - ;

на пролете 3 - ;

Естественно, Р₁ + Р₂ + Р₃ = 1, так как здесь мы имеем полную группу событий.

Произведением АВдвух событийАиВназывают событие, состоящее в совместном появлении этих событий. Для нескольких событий определение аналогично.

Условной вероятностью событияВотносительно события А – Р_А(В)называют вероятность событияВ, вычисленную в предположении, что событиеАуже наступило.

Вероятность АВ произведениядвух событийА иВравна произведению вероятности одного из нихР(А) на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило.

Р(АВ) =Р(А)Р_А(В). (1.5)

Верна также симметричная формула

Р(АВ) =Р(В)Р_В(А). (1.5')

Пример.

В железобетонной балке могут образовываться одна за другой две трещины. Вероятность появления первой по времени трещины равна: Р₁= 0,7. Вероятность второй трещины после того, как первая уже образовалась, равнаР₁(2) = 0,4. Требуется определить вероятности всех возможных событий: отсутствия трещин, появления одной трещины, появления двух трещин.

Решение.

Вероятность, что трещин не будет, равна

Р(0) = 1,0 – 0,7 = 0,3;

вероятность, что образуется только одна трещина, равна

Р(1) =Р₁^, Р₁(0) = 0,7^, (1,0 – 0,4) = 0,42;

вероятность, что образуются обе трещины, равна

Р(2) =Р(1) ^, Р₁(2) = 0,70,4 = 0,28.

Заметим, что Р₁(2) = 0,4 иР₁(0) =(1,0–0,4)= 0,6 являются условными вероятностями появления и непоявления второй трещины при условии, что первая трещина образовалась.

СобытиеВназываютнезависимымот событияА, если появление событияАне изменяет вероятности появления событияВ, т.е. еслиР_А(В) =Р(В). Свойство независимости событий взаимно, т.е. еслиР_А(В) =Р(В), то иР_В(А) =Р(А). Таким образом, для независимых событий:

Р(АВ) = Р(А)  Р(В).(1.6)

Для nнезависимых событийА₁, А₂, ..., А_n вероятность появления всех событий одновременно равна

Р(А₁ А₂ ... А_n ) = Р(А₁)^.Р(А₂)^…Р(А_n).(1.6^')

Вероятность появления хотя бы одного из независимых событий А₁, А₂, ..., А_n определяется формулой:

Р(А) = 1 – q₁, q₂, ..., q_n(1.7)

где q_i = Р= 1,0 –Р(А_i) – вероятность события, противоположного событиюА_i .

Если Р(А_i) =р=const, то иq₁ =q =constи

Р(А) = 1 –qⁿ.(1.7`)

Пример.

Ребристое пролетное строение, состоящее из 5 балок, может разрушаться только в случае, если выйдут из строя все балки.

Надежность каждой балки Р_б= 0,99, вероятность ее разрушенияq= 0,01 .

Найти вероятность неразрушения пролетного строения.

Решение.Р= 1 – 0,01⁵.

Сумма вероятностей совместных событий

Пусть АиВ– совместные события, т.е. появление одного не исключает появления другого.

Тогда

Р(А+В) = Р(А) + Р(В) –Р(АВ) (1.8)

Покажем это в геометрической интерпретации (рис.1.1), обозначив вероятности площадью соответствующих окружностей. Площадь прямоугольника Sсоответствует вероятности, равной 1. В этом случае получаем:

(1.8`)

АВ А В

Рис.1.1

Формула полной вероятности

Пусть В₁, ...,В_n– несовместные события, образующие полную группу, т.е.Р(В_i)_i=1,...,n = 1. Имеет место событиеА(рис.1.2).

Событие Аможет наступить лишь при наступлении одного из событий В_i, и полная вероятность событияАопределяется как сумма произведений вероятностей каждого из событийВ_i на соответствующую условную вероятность событияАотносительно этого событияВ_i:

Р(А) =Р(В₁)Р_В1(А) +Р(В₂)Р_В2(А) + ... +Р(В_n)Р_Вn(А). (1.9)

А

Рис.1.2

Уточнение вероятностей гипотез. Формула Бейеса

Пусть В₁, ...,В_n– несовместные события (гипотезы), образующие полную группу, т.е.Р(В_i)_i=1,...,n = 1. Произведен опыт, в результате которого произошло событиеA. Спрашивается, как следует изменить вероятности гипотез в связи с появлением этого события. Иначе, необходимо найти условную вероятность для каждой гипотезыВ_i в предположении, что событиеА произошло, т е.Р_А(В_i). Эти вероятности определяются так называемой формулой Бейеса:

Р_А(В_i) =Р(В_i)(1.10)

Пример.

На строительство тоннеля пришли тюбинги с двух заводов. Известно, что тюбинги завода №1 имеют надежность 95% (т.е. брак – 5%), а завод №2 – 97%. Завод №1 поставил 60% тюбингов, а завод №2 – 40%, т.е. первоначальная вероятность, что наудачу выбранный тюбинг окажется изготовленным на заводе №1, равна 0,6, а на заводе №2 – 0,4. Наудачу выбранный тюбинг оказался качественным. Покажем, как изменятся наши представления о вероятности принадлежности этого качественного тюбинга тому или иному заводу. Вероятность, что тюбинг будет принадлежать заводу №1, по формуле Бейеса равна:

Р_№1 = 0,60,95 / (0,60,95 + 0,40,97) = 0,57 / (0,57 + 0,39) = 0,57 / 0,96 = 0,59; соответственноР_№2 = 0,41.