- •Методические указания Элементы теории вероятностей и математической статистики
- •Предисловие
- •Основные понятия теории вероятностей
- •Определения
- •Сложение и умножение вероятностей
- •Вероятность события при многократных испытаниях
- •Случайные величины
- •Числовые характеристики случайной величины
- •Числовые характеристики одинаково распределенных независимых случайных величин
- •Закон больших чисел
- •Распределение вероятностей случайной величины
- •Плотность и функция распределения
- •Законы распределения вероятностей
- •Равномерное распределение
- •Биноминальное распределение
- •Распределение Пуассона
- •Показательное распределение
- •Нормальное распределение
- •Общие сведения о случайных функциях (процессах)
- •Основные понятия
- •Характеристики случайной функции
- •4.3. Стационарные и марковские случайные процессы
- •Элементы математической статистики
- •Основные задачи математической статистики
- •Понятия математической статистики
- •Виды выборок
- •Частота. Полигон и гистограмма
- •Числовые характеристики статистического распределения
- •Подбор теоретического закона распределения (первая задача математической статистики).
- •Критерий согласия Пирсона (вторая задача математической статистики)
- •Точность оценки. Доверительная вероятность и доверительный интервал
- •Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения
- •Приложение
- •Литература
Вероятность события при многократных испытаниях
Если производится несколько испытаний и в каждом из них вероятность события Ане зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называютнезависимыми относительно события А(выборка с возвратом).
Сложное событие– определенная комбинация нескольких простых событий (исходов испытаний).
Если вероятность события Ав каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность сложного события, состоящего в том, что в «n» однородных испытаниях событие А наступит «K» раз, равна (формула Бернулли):
, (1.11)
где p– вероятность событияАв одном испытании;
q=(1 –p) – вероятность непоявления событияАв испытании.
Пример.
Вероятность проектного натяжения высокопрочных болтов равна p=0.95. Найти вероятность того, что из пяти проверенных болтов два окажутся недотянуты.
Подставляем в формулу (11) значения n=5;K=2;p=0,95;q=0,05:
.
При достаточно больших значениях nиKпользоваться формулой Бернулли крайне неудобно. В этих случаях вероятностьРn(К) можно оценить приближенно поформуле Лапласа:
(1.12)
где
(табличная функция). (1.13)
Чем больше n, тем точнее формула (1.12).
Пример.
Вероятность проектного натяжения высокопрочных болтов равна 0.97. Найти вероятность того, что из 20 проверенных болтов 2 окажутся недотянуты.
Применим в данном случае формулу (1.12) Лапласа. При этом n=20;K=2;p=0,03;q=0,97. Вычисляем. Далее по таблице находим0,074. И, наконец, поформуле (1.12)находим.
Интегральная формула:
Вероятность Рn(К1,К2) того, что событиеАвnиспытаниях появится отК1доК2раз, приближенно равна:
, ( 1.13 )
где ,.
Интеграл - табличный (функция Лапласа).
Контрольные вопросы
1. Дайте определение понятия вероятность.
2. Дайте определение суммы и произведения двух событий.
3. Что такое условная вероятность?
4. Как определить вероятность сложного события?
Случайные величины
Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.
Зависимость между значениями Хслучайной величины и их вероятностямир(Х) определяет закон распределения случайной величиныХ.
Для дискретных случайных величин сумма вероятностей р(Х) всех их значений (Х), составляющих полную группу, равна единице, а для непрерывных – выражается определенным интегралом, равным единице т.е.
;. (2.1)
Числовые характеристики случайной величины
Математическое ожидание М(Х)– среднее арифметическое всех значений случайной величины (Х).
для дискретных случайных величин
; (2.2)
для непрерывных случайных величин
. (2.2’)
Свойства математического ожидания
1) Для постоянной величины Сматематическое ожидание
М(С) =С.(2.3)
2) Для произведения постоянной (С) и случайной (Х) величин
М(СХ) = С М(Х). (2.4)
3) Для суммы случайных величин ХиY
М(Х+Y) = М(Х)+М(Y).(2.5)
4) Если ХиY– независимые случайные величины, то
М(Х У) = М(Х) М(У). (2.6)
Дисперсией(рассеянием) случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания
. (2.7)
Для вычисления дисперсии удобно использовать формулу:
. (2.8)
Свойства дисперсии
1) ; (2.9)
2) ; (2.10)
3) Если ХиY– независимые случайные величины, то
. (2.11)
Это правило распространяется на сумму нескольких случайных величин.
Для анализа степени рассеивания случайных величин удобней иметь дело с характеристикой, имеющей ту же размерность, что и сама случайная величина. Таковой является корень квадратный из дисперсии, который называется средним квадратическим отклонениемилистандартом:
. ( 2.12)
Для суммы независимых случайных величин:
;
(2.13)