1. Равномерное распределение

Как следует из названия, значения случайной величины распределены равномерно на некотором интервале (a,b).

Плотность распределения определяется по формуле:

.(3.6)

Пример.

При остановке автомобиля радиус колеса, проходящий через ниппель, составляет с поверхностью проезжей части угол φ, который представляет собой случайную величину. Очевидно, что эта величина распределена равномерно на секторе (0, 2).

2. Биноминальное распределение

Пусть производится nнезависимых испытаний, в каждом из которых событиеAможет появиться с вероятностьюp или не появиться с вероятностьюq = 1 – p. Число появленийKсобытияAесть дискретная случайная величина, принимающая значения от 0 доn.

(3.7)

где = - число сочетаний изnпоK.

Пример.

Испытывают 3 кубика бетона класса В30 (обеспеченность Р = 0,95).

Вероятность, что прочность кубиков будет не менее 30 МПа равна:

во всехтрех кубиках;

в двух кубиках ;

в одном кубике ;

ни в одном из кубиков ;

.

3. Распределение Пуассона

Если число nиспытаний велико, а вероятность (p) исследуемого явления мала, используют асимптотическую формулу, так называемый закон Пуассона (закон распределения редких явлений):

(3.8)

где .

Имеются специальные таблицы, пользуясь которыми можно найти , знаяи.

Пример.

На строительство тоннеля для возведения обделки привезли с завода 800 тюбингов. Известно, что вероятность брака на заводе составляет 0,5%. Вероятность того, что среди привезенных тюбингов будет 4 бракованных , определяется по формуле (38):

;

.

4. Показательное распределение

Важным приложением закона Пуассона является рассмотрение случая, когда событие Авnиспытаниях не произойдет ни разу, т.е. в формуле (3.8) имеемК= 0. При этом указанная формула примет вид:

P_n = e^-a. (3.9)

Представим параметр a как число отказов за промежуток времени t:

a , (3.10)

где - число (интенсивность) событийА в единицу времени.

Тогда вероятность ненаступления события Ав течение некоторого промежутка времениtописываетсяпоказательным распределениемвероятностей, которое имеет вид:

функция распределения - ;

плотность распределения - , (3.11)

где - постоянная положительная величина

Показательное распределение характеризуется только одним параметром .

Примером распределения по показательному закону может служить время между появлениями двух последовательных событий (например, отказов, т.е. нарушений предельного состояния).

Вероятность попадания в заданный интервал показательно распределенной случайной величины равна:

. (3.12 )

Функция - табулирована.

Числовые характеристикипоказательного распределения:

;;.(3.13)

Показательный закон надежности

Показательное распределение широко используется в теории надежности.

Пусть продолжительность Тбезотказной работы элемента является случайной величиной. Ее функция распределенияF(t)=P(T<t)определяет вероятность отказа за время продолжительностьюt. Значит, вероятность безотказной работы за этот промежуток времени, т.е. вероятность противоположного событияT>t, равна:

(3.14)

Функцию называютфункцией надежности.

Часто длительность времени безотказной работы имеет показательное распределение:

, (3.15)

где - интенсивность отказов в единицу времени.

Тогда функция надежности имеет вид

. (3.16 )

Она и определяет показательный закон надежности.

Пример.

Пусть время безотказной работы моста (ненарушение первого предельного состояния) распределено по показательному закону , где- годы.

Вероятность того, что мост проработает безотказно 100 лет или 50 лет, равна соответственно:

;

.

Показательный закон надежности обладает очень важным свойством: вероятность безотказной работы элемента в некоторый промежуток времени не зависит от того, были ли отказы в предшествующий период.