2. Числовые характеристики одинаково распределенных независимых случайных величин

Пусть - одинаково распределенные независимые случайные величины (например, результаты испытаний, проводимых в однородных условиях), которые имеют одинаковые математические ожидания -a, дисперсию -, стандарт -.

Среднее арифметическое этих величин определяется выражением:

.(2.14)

Очевидно, будучи линейной комбинацией случайных величин, в свою очередь является также случайной величиной.

Тогда имеют место следующие зависимости:

1) (2.15)

2) (2.16)

3) (2.17)

3. Закон больших чисел

При испытаниях (опытах, наблюдениях) мы в большинстве случаев имеем дело не со всей совокупностью значений случайной величины, а с некоторой выборкой этих значений.

Среднее арифметическое этой выборки стремится к математическому ожиданию с увеличением ее объема.

Однако это свойство отличается от понятия сходимости, принятого в математическом анализе. Как известно, в детерминированной постановке сходимость означает безусловное приближение математической величины к некоторому пределу при неограниченном увеличении числа членов ряда этой величины.

В теории вероятностей стремление среднего арифметического случайной величины к ее математическому ожиданию обусловлено той или иной степенью вероятности этого. Причем, чем больше объем выборки, тем выше эта вероятность.

Это положение отражено в фундаментальном законе больших чисел, сформулированном Я. Бернулли и в более общем виде – П.Л. Чебышевым.

Теорема Бернулли

Если в каждом из nнезависимых испытаний вероятностьPпоявления событияAпостоянна, то

(2.18)

Это означает, что частота появления событияAстремится к его вероятности, т.е. при достаточно большомnразница между ними с заданной вероятностью будет сколь угодно мала. Это свойство называется «сходимостью по вероятности».

Контрольные вопросы

1.Перечислите свойства математического ожидания и дисперсии.

2.Назовите числовые характеристики одинаково распределенных независимых случайных величин.

3.Сформулируйте закон больших чисел.

3. Распределение вероятностей случайной величины

   1. Плотность и функция распределения

Случайная величина Хможет принимать различные значения в интервале (minХ,maxХ), на котором она определена, в частном случае, на всей числовой оси (–∞‚ ∞). Очевидно, что непрерывная случайная величина не может быть задана перечнем значений. Она задается непрерывной функциейf(х), выражающей зависимость между значениями случайной величины и их вероятностями. Функцияf(х) называетсяплотностью распределения непрерывной случайной величины

Функция распределения F(x)определяет вероятность того, что случайная величинаХпримет значение меньше, чемx,т.е.

F(х) = P(X < х). (3.1)

Плотность распределения непрерывной случайной величины есть производная от функции распределения

f(х)= F (х) . ( 3.2)

Функция распределения F(х) является интегралом от плотности распределенияf(х), т.е.

(3.3)

Свойства функции распределения

1) ;

2) F(x) – неубывающая функция;

3) Вероятность того, что значение случайной величины находится в интервале (a, b), равна:

;(3.4)

для непрерывной случайной величины:

.(3.5)

2. Законы распределения вероятностей

В зависимости от физической природы или технических параметров явлений или процессов, выражаемых случайными величинами, распределения вероятностей этих величин могут описываться различными математическими законами. Приведем некоторые наиболее простые и распространенные из них.