4. Общие сведения о случайных функциях (процессах)

   1. Основные понятия

Случайной называется функция неслучайного аргументаt, которая при каждом фиксированном значении аргумента является случайной величиной. Случайные функции, как правило, обозначаются прописными буквамиX(t),Y(t)и т.п.

Например, если Н– случайная величина, то и функцияX(t)=t²*Hслучайная. Получаем приt₁= 2 случайную величинуХ₁ = 4Н, приt₂ = 3 случайную величинуХ₂= 9Ни т. д.

Сечением случайной функцииназывают случайную величину, соответствующую фиксированному значению аргумента случайной функции.

Таким образом, случайную функцию можно рассматривать как совокупность случайных величин Х(t), зависящих от параметраt.

Реализацией (траекторией) случайной функцииХ(t)называют неслучайную функцию аргументаt, которая может получиться в результате испытаний.

Таким образом, случайную функцию можно рассматривать как совокупность ее случайных реализаций.

Случайным (стохастическим) процессомназывают случайную функцию аргументаt, который можно истолковать как время.

Примеры:

• изменение температуры воздуха в течение суток (года);

• процесс коррозии арматуры;

• воздействие на мост транспортного потока.

2. Характеристики случайной функции

Математическим ожиданиемслучайной функцииX(t)называют неслучайную функциюm_x(t), которая при каждом значении аргументаt_iравна математическому ожиданию случайной величиныX(t_i).

Дисперсией случайной функцииX(t)называют неслучайную функциюD_x(t), значение которой для каждогоt_iравно дисперсии случайной величиныX(t_i).

Соответственно, среднее квадратическое отклонениефункцииX(t)– это неслучайная функция_х(t)=.

Математическое ожидание и дисперсия не могут дать полного представления о случайной функции. Например, на рис. 4.1 представлены две случайные функции X₁(t)иX₂(t), имеющие одинаковые математические ожидания и дисперсии, но совершенно различную структуру.

Рис 4.1

Эта структура описывается специальной характеристикой – корреляционной функцией,которая отражает степень зависимости между различными сечениями случайной функции.

На рис. 4.1,а приведен пример тесной зависимости сечений случайной функции, соответствующих близким сечениям аргумента t. На рис. 4.1,б, наоборот, эта зависимость выражена слабо. Такая зависимость описываетсякорреляционным моментом, т.е. математическим ожиданием произведений двух случайных величин:

X⁰(t₁)=X(t₁) – m_x(t₁) и X⁰(t₂)=X(t₂) – m_x(t₂);

K_x(t_1, t₂)= M[X⁰(t₁)  X⁰(t₂)]. (4.1)

Таким образом, корреляционной функциейслучайной функцииX(t)называют неслучайную функцию двух аргументов, которая при каждой паре значенийt₁иt₂равна корреляционному моментуК_х(t_1, t₂).

4.3. Стационарные и марковские случайные процессы

Случайные процессы, математические ожидания и дисперсии которых постоянны во времени, называются стационарными.

Примером стационарного процесса могут служить колебания пролетного строения при установившемся режиме автомобильного движения.

В случае стационарного процесса корреляционная функция зависит только от промежутка между первым и вторым значениями аргумента.

K_x(t_1, t+) =K_x(). (4.2)

Марковскимназывается случайный процессX(t), если для каждого момента времениt₀протекание случайного процесса в будущем (приt>t₀) определяется его настоящим (значениеX(t₀)) и не зависит от прошлого (от значенийX(t)приt <t₀).

Пример.

Развитие силовой трещины в железобетоне в каждый момент времени определяется ее шириной, длиной, конфигурацией и не зависит от того, как это состояние образовалось.