24 .Геометрическое распределение.

Пусть проводятся независимые испытания, которые описаны в предыдущем п. Но количество испытаний не ограничено. Испытания проводятся до тех пор, пока не наступит успех. Рассматривается ДСВ X - количество испытаний, проведенных до первого успеха (включительно). Это ДРУГАЯ ДСВ, в отличие от той, которая рассматривалась в предыдущем п. Очевидно, что значения X могут быть любые целые числа от единицы до бесконечности. Таким образом, имеем ряд распределения:

1
2
…	…
к
…	…

Значения вероятностей определяются по формуле: . Доказательство. .

Математическое ожидание . Дисперсия .

Доказательство. Рассмотрим абсолютно сходящийся ряд (0<q<1):

Сумма этого ряда есть сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии, пэтому имеем: . Абсолютно сходящиеся степенные ряды можно дифференцировать, следовательно . Теперь подставим значения из ряда распределения в общую формулу математического ожидания и воспользуемся выведенным соотношением: .

Геометрическое распределение с ограничением.

В условиях предыдущего п рассматривается ДСВ X - количество испытаний, проведенных до первого успеха или до достижения лимитированного числа испытаний n. Ряд распределения здесь будет таким:

1
2
…	…
n

Значения вероятностей определяются по такой же формуле: , кроме значения . Последнее значение вычисляется как . Математическое ожидание и. дисперсия вычисляются по общим формулам. Особенностью является то, что событие не означает, что успех наступил при последнем испытании, а означает только что проведено n испытаний. В этом случае, успех может быть и может не быть.

25. Распределение Пуассона.

Пусть ДСВ X имеет возможные значения - все целые числа от нуля до бесконечности, и вероятности рассчитываются по формулам , где λ>0 - параметр распределения. Тогда эта ДСВ X называется распределенной по закону Пуассона. У этой ДСВ Математическое ожидание и дисперсия вычисляются по простым формулам

.

Это распределение встречаются часто на практике, но рассмотрим только два случая:

1.Пусть имеется простейший стационарный поток событий Пуассона с интенсивностью μ. Рассматривается ДСВ X – количество событий, произошедший за заданный промежуток времени Δt. Тогда ДСВ X имеет распределение Пуассона с параметром λ= μ Δt.

2.Пусть ДСВ X имеет биномиальное распределение с параметрами n>>1 и p<<1. Значок >> означает «намного больше», а значок << означает «намного меньше». Тогда имеет место «закон редких событий Пуассона», заключающийся в том, что можно приближенно заменить биномиальное распределение распределением Пуассона с параметром λ= np. Строго закон редких событий Пуассона можно сформулировать так. Будем рассматривать биномиальные распределения, увеличивая параметр n (число испытаний) до бесконечности, но так, что вероятность p успеха при этом уменьшалась бы с сохранением произведения λ= np. Тогда вероятности в ряде биномиального распределения имеют пределы (при ), равные вероятностям в ряде распределения Пуассона с параметром λ.

Простейший поток событий Пуассона.

Простейшим потоком событий Пуассона называется такой поток событий, который удовлетворяет следующим условиям:

1.Все события происходят мгновенно, то есть длительность любого события равна нулю. События можно рассматривать как точки на числовой оси времени.

2. Все события происходят независимо друг от друга.

3. Свойство ординарности: вероятность того, что за бесконечно малый промежуток времени произойдет два или более событий есть величина бесконечно малая более высокого порядка, чем вероятность того, что за этот же промежуток времени произойдет ровно одно событие.

Характеристикой простейшего потока является его интенсивность μ – математическое ожидание количества событий, происходящих за единицу времени (среде вероятное количество событий, происходящих за единицу времени). Размерность μ есть . Мы будем рассматривать только стационарные потоки событий, в которых μ не меняется во времени.

Часто встречающиеся распределения случайных величин.

Закон Пуассона

Событие называются редкими, когда вероятность события р или противоположного ему q близка к нулю. При большом числе испытаний (n), но небольшой величине произведения числа испытаний на вероятность (np),

которое  меньше 10, вероятности полученные по формуле Лапласа

недостаточно близки к их истинным значениям. тогда применяют другую асимптотическую формулу