13. Понятие случайного события. Невозможное и достоверное события. Несовместные события. Сумма и произведение случайных событий.

Событием (или «случайным событием») называется всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти.

Достоверным называется событие (обозначается Ω), которое в результате опыта непременно должно произойти.

Невозможным называется событие (обозначается Ø), которое в результате опыта не может произойти.

Несовместными называются два таких события, что наступление одного из них исключает наступление другого.

Полной группой событий вообще называется несколько попарно несовместных событий таких, что в результате опыта непременно должно произойти одно из них.

Полной группой событий по отношению к событию А называется несколько попарно несовместных событий таких, что в результате опыта непременно должно произойти одно из них, если произошло событие А.

Отметим, что «полная группа событий вообще» является полной группой по отношению к любому событию. Полная группа событий по отношению к какому-то событию в общем случае не является «полной группой событий вообще».

Суммой двух или более событий называется событие, заключающееся в наступлении хотя бы одного из этих событий. Сумма событий А и В обозначается . Произведением двух или более событий называется событие, заключающееся в наступлении всех этих событий.

Произведение событий А и В обозначается .

Несколько событий в данном опыте называются равновозможными, если по условиям симметрии опыта нет оснований считать какое-либо из них более возможным, чем любое другое.

Если несколько событий: 1) образуют полную группу; 2) попарно несов­местны; 3) равновозможны, то они называются случаями («шансами»).

Случай называется благоприятным событию, если появление этого случая влечет за собой появление события.

Противоположным к событию А называется событие (обозначается ), заключающееся в том, что событие А не наступит.

Если наступление события В влечет за собой наступление события А, то событие А называется частным случаем события А. Это обозначается

14. Классическое определение вероятности.

Если в результате опыта может появиться один и только один из конечного числа n случаев, то вероят­ность события А вычисляется по формуле

где п — общее число случаев, т — число случаев, благоприятных событию А. Из определения непосредственно вытекают

Свойства вероятности:

Вероятность невозможного события равна нулю. P(Ø) = 0. Обратное утверждение в общем случае неверно.

Вероятность достоверного события равна единице P(Ω) = 1. Обратное утверждение в общем случае неверно.

Вероятность любого события А заключена между нулем и еди­ницей: .

Вероятность противоположного события дополняет вероятность события до единицы: . (3.2)

Вероятность частного случая не превосходит общей вероятности:

_(3.3)

14. Условная вероятность. Независимые события. Теорема умножения вероятностей.

Условной вероятностью события А при условии В (обозначается ) называется вероятность события А, сосчитанная при условии, что событии В произошло.

Два события называются независимыми, если вероятность одного из них не зависит от того, произошло или не произошло другое событие.

Рассмотрим эти понятия на простом примере. Пусть из ящика, содержащего 10 белых и десять черных шаров, вынимается шар и откладывается в сторону. Затем вынимается еще один шар. Рассмотрим два события:

А= первый шар белый В= второй шар белый.

Очевидно, что эти 2 события зависимы. Действительно , а . То есть вероятность события В зависит от того, произошло или не произошло событие А. Из определений вытекает простое свойство независимых событий: Если А и В независимы, то и .

Если вероятность события А строго положительна, то эксперимент в котором происходит (или не происходит) событие В при условии наступления события А можно трактовать как эксперимент, в котором множество равновозможных исходов есть множество исходов, соответствующих наступлению события А, а множество исходов, соответствующих наступлению событию В есть множество исходов, соответствующих наступлению события _{. Тогда для условной вероятности получаем формулу}

_(6.1)

_{Аналогично рассуждая можно получить (6.2)}

_{Из этих двух формул вытекает теорема умножения вероятностей:}

_{То есть вероятность произведения двух событий равна вероятности одного из них, умноженную на условную вероятность другого события при условии наступления первого. Если события независимы, то, с учетом ранее сделанного замечания, получаем простую формулу для вероятности произведения этих событий:}