10. Решение неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (лнду).

Решение y неоднородного дифференциального уравнения состоит из суммы решения соответствующего однородного дифференциального уравнения, и любого частного решения этого неоднородного уравнения. Нахождение частного решения может производиться различными методами. Мы рассмотрим метод неопределенных коэффициентов (МНК) для нахождения этого решения . Этот метод применим для некоторого класса функций . В случае, когда правая часть уравнения не принадлежит этому классу, то следует применить другой метод, например метод Лагранжа.

Функция f(x) называется функцией МНК типа, если ее можно представить в виде (МНК форме):

Где α,β – действительные числа,

- многочлены степени n и m соответственно с определенными коэффициентами.

Если функция f(x) является функцией МНК типа, то частное решение ЛНДУ можно найти методом МНК. В этом случае оно ищется в виде

,

где L=max(m,n),

- многочлены степени L с неопределенными коэффициентами.

k – число, показывающее, сколько раз число α+βi встречается в полном списке корней характеристического уравнения.

Следует подставить полученное выражение ЛНДУ и получить значения неопределенных коэффициентов. Подставив полученные значения в выражение для , получим частное решение ЛНДУ.

12. Перестановки. Размещения. Сочетания.

Перестановками называются соединения элементов, не различающиеся составом элементов, но различающиеся порядком следования этих элементов.

Если число элементов больше, то, в общем случае, число перестановок из n элементов вычисляется по формуле: . (1.1)

Пусть имеется набор каких-либо n элементов. Из этих n элементов выбирается случайным образом k элементов следующим образом. Сначала выбираем один элемент он запоминается и возвращается обратно, затем снова выбираем элемент, и так далее, всего k раз. Такая выборка называется возвратной. Полученная последовательность элементов (с учетом порядка следования) называется размещением с повторениями. То есть размещения различаются как составом элементов, так и порядком следования. Число размещений с повторениями из n по k обозначается и вычисляется по формуле . (1,2)

Пусть имеется набор каких-либо n элементов. Из этих n элементов выбирается случайным образом k элементов следующим образом. Сначала выбираем один элемент, затем из оставшихся выбираем другой, и так далее, всего k элементов (). Такая выборка называется безвозвратной. Полученная последовательность элементов (с учетом порядка следования) называется размещением без повторений. То есть размещения различаются как составом элементов, так и порядком следования. Число размещений без повторений из n по k обозначается (). и вычисляется по формуле . (1.3)

Рассмотрим снова набор каких-либо n элементов. Выберем путем безвозвратной выборки k элементов (). Но теперь мы будем интересоваться только тем, какие именно элементы выбраны, а в каком порядке они выбирались интересоваться уже не будем. Полученный набор k элементов называется сочетанием k элементов. То есть сочетания различаются составом элементов, но не различаются порядком следования. Число сочетаний из n по k обозначается и вычисляется по формуле . (1.4)

Число сочетаний из n по k для небольших значений n можно найти из треугольника Паскаля, в котором каждое число в строке записывается между соседними числами в вышестоящей строке и равно их сумме.