- •1 Вопрос
- •2 Вопрос.
- •4.Уравнения с разделяющимися переменными.
- •6 Вопрос
- •7 Вопрос.
- •Теорема.
- •8. Комплексные числа
- •9. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
- •Решение неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (лнду).
- •12. Перестановки. Размещения. Сочетания.
- •13. Понятие случайного события. Невозможное и достоверное события. Несовместные события. Сумма и произведение случайных событий.
- •Классическое определение вероятности.
- •Условная вероятность. Независимые события. Теорема умножения вероятностей.
- •Теорема сложения вероятностей.
- •17. Формула полной вероятности и формула Байеса.
- •Дискретные случайные величины и их характеристики.
- •24 .Геометрическое распределение.
- •26.Равномерное распределение.
- •27.Показательное распределение.
- •29. Теоремы Лапласа
- •30. Система случайных величин. Основные понятия. Ковариация. Коэффициент корреляции
Теорема.
Если - интегрирующий множитель уравнения вида (1), а функция такая, что
.
Тогда , где - произвольная дифференцируемая функция, также будет интегрирующим множителем того же уравнения.
Это свойство интегрирующего множителя позволяет во многих случаях находить его методом разбиения данного уравнения на две части.
Пусть - общие интегралы и интегрирующие множители соответственно для уравнений
.
Тогда, в силу приведенной выше теоремы, функции
являются интегрирующими множителями для первого и второго уравнения соответственно. Если удастся подобрать функции так, чтобы выполнялось равенство
,
то интегрирующим множителем для уравнения
,
очевидно, является функция
.
Пример 5. Решить уравнение .
Решение.
Для отыскания интегрирующего множителя воспользуемся методом разделения уравнения на два:
.
Нетрудно установить, что интегрирующие множители этих уравнений. а также их интегралы имеют вид:
,
Согласно указанному методу, интегрирующий множитель данного уравнения ищем из соотношения
.
Отсюда
.
Полагая здесь , получаем
,
или
.
Пусть . Тогда
.
Следовательно,
.
Заметим, что для аналогично можно найти
.
В обоих случаях после интегрирования уравнения в полных дифференциалах и упрощений получаем ответ
.
8. Комплексные числа
Комплексные числа являются расширением множества действительных чисел. В результате расширения множества действительных чисел было введено понятие мнимой единицы , которая существует на множестве комплексных чисел, но не существует на множестве действительных
теорема алгебры:
На поле комплексных чисел многочлен степени n имеет ровно n корней, если каждый корень считать столько раз, какова его кратность.
Можно показать, что если число является корнем многочлена (с действительными коэффициентами), то сопряженное число также является корнем этого многочлена.
Пример: многочлен имеет два различных сопряженных корня: и . Из этого следствия можно сделать вывод о том, что многочлен нечетной степени всегда имеет хотя бы один действительный корень, так как комплексные корни в списке корней присутствуют сопряженными парами.
9. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
Определение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Определение однородных и неоднородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Рассмотрены свойства их решений.
Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами – это уравнение вида a0 y(n) + a1 y(n-1) + ... + an-1 y' + an y = f(x); ai = const; a0 ≠ 0
Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами – это уравнение вида a0 y(n) + a1 y(n-1) + ... + an-1 y' + an y = 0; ai = const; a0 ≠ 0
Линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами – это уравнение вида a0 y(n) + a1 y(n-1) + ... + an-1 y' + an y = f(x); f(x) ≠ 0; ai = const; a0 ≠ 0
Здесь все коэффициенты ai - постоянные. n - порядок уравнения. Член f(x) называется неоднородной частью уравнения.
Свойства решений линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
Однородные уравнения
Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение:
(1) |
Общее решение такого уравнения можно записать в виде:
где y1, y2, ... yn-1, yn - линейно независимые частные решения уравнения (1). Каждое из них удовлетворят уравнению (1):
В этом случае говорят, что функции y1, y2, ... yn-1, yn образуют фундаментальную систему решений линейного однородного уравнения (1).
Фундаментальная система решений линейного однородного уравнения (1) – это n линейно независимых функций y1(x), y2(x), ... yn-1(x), yn(x), каждая из которых является решением уравнения (1).
Линейно независимые функции y1(x), y2(x), ... yn-1(x), yn(x) – это такие функции, для которых соотношение: α1 y1(x) + α2 y2(x) + ... + αn-1 yn-1(x) + αn yn(x) = 0 может выполняться только если все постоянные α1, α2, ..., αn-1, αn равны нулю.
Линейно зависимые функции y1(x), y2(x), ... yn-1(x), yn(x) – это функции, между которыми имеет место линейная зависимость: α1 y1(x) + α2 y2(x) + ... + αn-1 yn-1(x) + αn yn(x) = 0 где α1, α2, ..., αn-1, αn - постоянные, из которых хотя бы одна отлична от нуля.
Неоднородные уравнения
Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение:
(2) |
Пусть Y - частное решение этого уравнения. Тогда общее решение уравнения (2) равно сумме общего решения однородного уравнения плюс частное решение неоднородного:
Здесь
- общее решение однородного уравнения:
Y- частное (любое) решение неоднородного уравнения:
Часто встречается случай, когда неоднородная часть f(x) может быть представлена в виде суммы функций:
Тогда частное решение Y также может быть представлено в виде суммы частных решений:
каждое из которых удовлетворяет уравнению с правой частью в виде одной из функций fi(x):
В некоторых случаях бывает легче решать отдельные частные решения от более простых неоднородных частей, а затем получать частное решение для всего уравнения суммированием полученных частных решений.