1 Вопрос

Определение обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) и его решения. Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой значения независимой переменной x, неизвестной функции y = f(x) и её производных (или дифференциалов):

;

(1)

(все три переменные x, y, F - действительны).  Опр. Порядком уравнения называется максимальный порядок n входящей в него производной (или дифференциала).  Пример: y⁽⁴⁾ – y + x = 0 - уравнение четвёртого порядка.  Опр. Частным решением уравнения (1) на интервале (a, b) (конечном или бесконечном) называется любая n раз дифференцируемая функция , удовлетворяющая этому уравнению, т.е. обращающая уравнение на этом интервале в тождество.  Так, функция y(x) = e^x + x обращает уравнение : y⁽⁴⁾ – y + x = 0 в тождество на всей числовой оси (y⁽⁴⁾(x) = e^x; e^x –(e^x +x) + x = 0), т.е. является частным решением этого уравнения. Любое уравнение порядка  имеет множество частных решений (частным решением приведённого уравнения является и функция y(x) = sin(x) + x). Процедуру решения дифференциального уравнения часто называют интегрированием уравнения, при этом интегрировать приходится в общем случае ровно n раз, и при каждом интегрировании в решение входит очередная произвольная постоянная.  Опр. Общим решением (общим интегралом) уравнения (1) называется такое соотношение

;

(2)

что: 1. Любое решение (2)  относительно y (для набора постоянных C₁, C₂, …, C_n из некоторой области n-мерного пространства) - частное решение уравнения (1);  2. Любое частное решение уравнения (1) может быть получено из (2) при некотором наборе постоянных C₁, C₂, …, C_n.  Мы будем в основном рассматривать дифференциальные уравнения в форме, разрешённой относительно старшей производной:

;

(3)

и получать общее решение в форме

;

(4)

решённой относительно неизвестной функции.

Задача Коши (задача с начальным условием). Пусть функция f(x, y) определена в области D, точка . Требуется найти решение уравнения

;

(8)

удовлетворяющее начальному условию

y(x0) = y0;

(9)

(начальное условие (9) часто записывают в форме ).  Теорема Коши (существования и решения задачи Коши). Если в области D функция f(x, y) непрерывна и имеет непрерывную частную производную , то для любой точки  в окрестности точки x₀ существует единственное решение задачи ((8),(9)).  Мы примем эту теорему без доказательства. На самом деле для существования решения в окрестности точки x₀ достаточно только непрерывности функции f(x, y); условие непрерывности  обеспечивает единственность этого решения. 6

2 Вопрос.

Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения. 

Рассматривая уравнение первого порядка , разрешенное относительно производной, мы ставили вопрос об отыскании его общего решения и, если задано начальное условие частного решения, удовлетворяющего этому условию.  Возникает вопрос: всегда ли существует частное решение, удовлетворяющее заданному начальному условию и если существует, будет ли оно единственным. Рассмотрим, например, уравнение  .  Общим решением является функция , а интегральными кривыми - семейство гипербол, причем через каждую точку , не лежащую на оси Oy проходит одна и только одна интегральная кривая, т.е. рассматриваемое уравнение имеет единственное решение, проходящее через точку, не лежащую на оси Oy, но оно не имеет решения, проходящего через точку, взятую на оси Oy.  Этот пример показывает, что не всегда существует решение, удовлетворяющее заданному начальному условию.  В некоторых случаях решение может оказаться не единственным.  Так, например, уравнение    имеет бесконечное множество решений, проходящих через точку (0,0).  В самом деле, функция  является общим решением этого уравнения, а при любом значенииC прямая  проходит через начало координат.  На вопрос, при каких условиях для уравнения  можно гарантировать существование и единственность решения, удовлетворяющего заданному начальному условию , отвечает следующая теорема.

Теорема. Пусть функция  и ее частная производная  непрерывны в некоторой области D на плоскости xOy . Тогда, если точка  принадлежит этой области, существует, и притом единственное, решение уравнения , удовлетворяющее начальному условию .  Геометрически это означает, что через каждую точку  области D проходит одна и только одна интегральная кривая рассматриваемого уравнения. Данная теорема называется теоремой существования и единственности решения дифференциального уравнения .  Возвращаясь к рассмотренным нами примерам, мы видим, что функции    и    не определены при  и, следовательно, не являются непрерывными. Это обстоятельство и привело, в первом случае, к отсутствию решений, проходящих через точки оси Ox , во втором - к нарушению единственности в точке (0,0).