Лабораторный практикум по физике

имеет определенное численное значение. На практике важно знать теплоемкости для изобарного процесса cp (постоянное давление) и изохорного процесса cV (постоянный объем)

Для жидких и твердых тел (dV /dT )p – малая величина, и соответственно cp и cV отличаются несущественно. Для газов разница между cp и cV значительна. Найдем эти величины для идеальных газов. Внутренняя энергия одного моля идеальных газов зависит только от температуры

где i – число степеней свободы молекул газа, а R – универсальная газовая постоянная. Число степеней свободы молекул газа i определяется их структурой. Из выражений (4) и (6) следует, что

Из (7) следует, что (∂U/∂V )T = 0. Значение (∂U/∂T )p найдем из уравнения состояния идеального газа (уравнения Менделеева-Клапейрона) для

Рассмотрим далее адиабатический процесс в газе. Под адиабатическим процессом понимается процесс, протекающий без теплообмена с окружающей средой. Адиабатическим можно назвать на практике процесс, протекающий в газах достаточно быстро, когда не успевает происходить теплообмен с окружающей средой. Найдем уравнение адиабатического процесса в идеальном газе, т. е. уравнение, связывающее p , V и T при таком процессе. Для этого в уравнении (2) положим δQ = 0 и, используя определение (4), получим

51

В уравнение (9) входят T, P и V . Продифференцируем уравнение МенделееваКлапейрона

P dV + V dP = R dT .

Подставим отсюда dT в (9) и, учтя (8), получим −cV V dp = cp P dV .

Уравнение (11) есть уравнение Пуассона для адиабатического процесса. Кривая в координатах P и V называется адиабатой. Величина γ – адиабатическая постоянная или показатель адиабаты. Для нахождения γ рассмотрим такой эксперимент. Накачаем воздух в баллон объемом V до некоторого давления P1 , превышающего атмосферное P0. Когда воздух в баллоне примет температуру окружавшего воздуха, т. е. комнатную температуру, открывается выпускной кран, и воздух выпускается наружу до тех пор, пока давление в сосуде не станет опять равным P0. Так как выпуск воздуха из сосуда быстрый, т. е. тепло сосуду или от него передаться не успевает, процесс можно считать адиабатическим. При этом расширяющийся воздух совершает работу против внешних сил – внешнего атмосферного давления, поэтому температура в сосуде понизится. Если теперь закрыть выпускной кран и дать воздуху в сосуде нагреться до комнатной температуры, то его давление возрастет и станет равным P2. Выделим мысленно массу воздуха m для случая, когда сосуд не накачан и воздух занимает объем V при атмосферном давлении P0 . Когда сосуд накачан до давления P1 , масса воздуха стала m + m. Так как мы следим за состоянием начальной массы m , то она займет объем V1 < V

. Рассмотрим три состояния этой массы, мысленно представляя соответствующие им температуры газа.

52

Сравнивая первый и второй случаи, видим, что здесь произошло адиабатическое расширение газа. Используя уравнение Пуассона (11), получим

Сопоставляя первый и второй случай, видим, что температуры воздуха, занимающего объемы V1 и V , одинаковы, поэтому можно воспользоваться законом Бойля-Мариотта

Используя (13), равенство (12) можно представить в виде

Откуда логарифмирование дает

γ= ln P1 − ln P0 . ln P1 − ln P2

Далее, представив P1 и P2 в виде P1 = P0 + P1, P2 = P0 + P2 и разложив в ряд Тейлора с точностью до членов второго порядка малости

2. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

Схема экспериментальной установки показана на рисунке 1. Установка состоит из стеклянного сосуда 1, соединенного с помощью резинового шланга с манометром 3. Сосуд накачивается воздухом насосом 2. Посредством выпускного крана 4 сосуд может сообщаться с атмосферой.

53

ление в сосуде P = 0). После этого тотчас же закройте кран.

3) Подождите 1-2 минуты, пока воздух, охлажденный при адиабатическом расширении, вновь примет комнатную температуру. После этого измерьте избыточное давление P2.

4)Вычислите γ по формуле (15).

5)Повторите измерения не менее 10 раз, данные занесите в таблицу. Определите основные источники погрешности измерений.

3.КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Какой процесс называется адиабатическим?

2.Нарисуйте графики адиабаты и изотермы на одном чертеже. 3.Выведите формулу (15).

4.Почему теплоемкость газов зависит от способов нагревания? Почему cp > cV ?

Библиографический список

1.Сивухин Д.В. Общий курс физики, т. 1. – М.: Наука, 1974. – 540 с.

2.Матвеев А.Н. Молекулярная физика. – М.: Высшая школа, 1987. –

406 с.

54

Лабораторная работа № 10 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИЗМЕНЕНИЯ ЭНТРОПИИ ВОЗДУХА

СТАТИСТИЧЕСКИМ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИМ СПОСОБАМИ

Цель работы: Изучение понятия энтропии и ее определение для обратимых и необратимых процессов. Нахождение изменения энтропии воздуха термодинамическим и статистическим способами.

Оборудование: Стеклянный баллон, манометр, термометр, барометр, насос.

1. КРАТКАЯ ТЕОРИЯ

Понятие энтропии рассмотрено в предыдущей работе. Продолжим изучение данного вопроса, используя в т. ч. статистический подход. Первое начало термодинамики утверждает целесообразность введения понятия, называемого энергией. При изучении тепловых явлений нас может интересовать, в какие состояния способна перейти система, если сообщить ей теплоту или совершить над ней работу. Определить, возможно ли достижение системой того или иного состояния при заданном начальном состоянии, удается посредством введения понятия энергии. Пусть новое состояние отличается по энергии от начального на величину, не совпадающую с количеством сообщенной системе теплоты или величиной произведенной над ней работы. Тогда, согласно первому началу термодинамики, можно сразу утверждать, что такое состояние исключено. Количественно это утверждение формулируется следующим образом:

Здесь dU – разность внутренних энергий системы в двух состояниях, δQ

– количество теплоты, полученное системой, δA – работа, произведенная над системой. Очень важно, что одно и то же значение может быть получено разными комбинациями δQ и δA. Разность же внутренних энергий системы в двух состояниях обуславливается только параметрами этих состояний, например, температурой и объемом газа. Первый закон термодинамики не вызывает больших трудностей для понимания, так как имеет аналоги в механике и, соответственно, в повседневной жизни. Для того, чтобы футбольный мяч попал вашему партнеру, а не вылетел за

55

пределы поля, необходимо совершить строго определенную работу и не больше. Равенство (1) описывает переходы термодинамической системы из одного состояния в другое различными путями, т. к. возможны различные комбинации величин δQ и δA, соответствующие одному и тому же значению dU . Величина совершаемой работы δA над системой определяется внешними условиями.

Рассмотрим изолированную систему, которая имеет два состояния: например, в одном состоянии в калориметре находится горячая вода и кусок льда в ней, а в другом лед растаял. Согласно первому началу термодинамики второе состояние может быть получено из первого только

втом случае, если полная энергия системы одинакова в обоих состояниях. Может ли второе состояние самопроизвольно возникнуть из первого и наоборот? Практика показывает, что температура частей изолированной системы всегда выравнивается. Никто не может привести пример, чтобы

введре теплой воды самопроизвольно образовался кусочек льда, а температура остальной части повысилась так, чтобы полная энергия системы осталась неизменной. Такое возможно только при контакте системы с другими телами. На определенном этапе необходим холодильник. Почему так происходит? Ответ на этот вопрос дает второе начало термодинамики. Каждое состояние системы кроме полной энергии характеризуется еще одной величиной, называемой энтропией. В изолированной системе возможны самопроизвольные процессы, сопровождающиеся только возрастанием энтропии. Итак, мы определили, какие свойства состояний изолированной системы описывает энтропия, но как ее вычислить? Каковы причины такой направленности процессов?

Рассмотрим идеальный газ в изолированной камере (рис. 1). Пусть в начальный мо-

он появляется, но число молекул, поступающих из 1 в 2, меньше, чем из 2 в 1. Таким образом, газ постепенно (со скоростью теплового движения

56

молекул) заполняет всю камеру. Во всей камере устанавливается примерно одинаковая концентрация. Если в какой-то области концентрация молекул случайно оказывается больше, чем в соседних, то из нее молекул уходит больше, чем приходит, причем до тех пор, пока концентрация всюду не выравняется. Это возможно в случае отсутствия внешнего воздействия, т. е. все направления свободного движения одной молекулы равноправны. Может ли случиться, что все молекулы соберутся снова в части сосуда АВСД, ведь движутся они хаотически? Ответ на этот вопрос дает теория вероятностей с учетом действия физических законов.

Обозначим объем всего сосуда V , а его части АВСД – V0 . Найдем вероятность того, что по истечении длительного времени все молекулы соберутся в объем V0. Так как газ является идеальным и молекулы его не взаимодействуют друг с другом, то каждая из них может находиться

влюбой части сосуда. Очевидно, вероятность найти заданную молекулу во всем объеме V равна единице. Разделим мысленно объем V на две равные части. Вероятность найти заданную молекулу в одной части будет равна 1/2, т. к. с одинаковым успехом мы можем обнаружить ее в любой из частей. Аналогично, вероятность найти заданную молекулу в

четвертой части объема равна 1/4, а в (V0/V ) части равна ( V0/V < 1). Мы нашли вероятность нахождения одной заданной частицы в объеме V0. Возьмем теперь две молекулы. Разделим мысленно сосуд на четыре равные части. Найдем вероятность того, что обе молекулы попадут в одну часть. Вероятность нахождения одной молекулы в выбранной части равна 1/4, но при этом другая молекула может находиться в любой из четырех частей, однако нас интересует только одна из них. Таким образом, вероятность двум частицам находиться в четвертой части объема будет в четыре раза меньше, чем соответствующая вероятность для одной молекулы, т.е. 1/4 ·1/4 = 16. Для трех частиц вероятность будет еще

вчетыре раза меньше и так далее. Для частиц вероятность находиться

вчетвертой части объема будет равна 1/4, а вероятность нахождения их

в(V0/V ) части объема будет равна

Отметим, что V0 – это часть объема V , Вероятность нахождения всех N частиц во всем объеме равна единице. Мы знаем, что в одном моле вещества содержится NA = 6 · 1023 молекул. Если N = NA и V0 = V /2, то вероятность всех молекул собраться в объеме V0 будет в 26·1023 раз меньше вероятности состояния, в котором молекулы занимают весь объем. Более того, из выражения (2) ясно, что максимальной вероятностью

57

обладает состояние (V0 = V ). Таким образом, процесс самопроизвольного распространения газа по всему объему является процессом перехода системы в наиболее вероятное состояние. Возвратимся теперь к системе, состоящей из двух частей разной температуры. Более сложные расчеты показывают, что самопроизвольный переход системы в такое состояние также маловероятен, как и концентрирование молекул газа в одной из частей сосуда. Наиболее вероятным является состояние термодинамического равновесия.

Подведем некоторые итоги. Каждое состояние системы, кроме внутренней энергии, характеризуется вероятностью состояния F . Всякая изолированная система с течением времени самопроизвольно переходит в наиболее вероятное состояние. Таким образом, вероятность состояния несет в себе ту же информацию, что и введенная нами ранее энтропия. Это означает, что энтропия и вероятность состояния изолированной системы должны быть однозначно связаны. Удобно, оказывается, выбрать эту связь в виде

после ее перехода в наиболее вероятное состояние? Она случайно может перейти и в менее вероятное состояние,

но, как правило, мало отличающееся от наиболее вероятного.

На рисунке 2 без соблюдения масштаба показано изменение энтропии системы при переходе из маловероятного состояния S0 в наиболее вероятное состояние с энтропией S1 и ее дальнейшее поведение.

Всегда ли энтропия возрастает? В рассмотренных нами двух примерах с распространением газа по всему объему и с таянием льда в системе протекали неравновесные процессы (газ расширялся в пустоту, т. е. не имел определенного давления; тела обменивались теплом и не имели в процессе обмена определенной температуры). Эти процессы называют необратимыми. Оказывается, нельзя добиться того, чтобы газ снова собрался в части объема, не изменив чего-либо в окружающем мире.

58

В таких необратимых процессах система сама переходит в состояние с большей энтропией. Энтропия возрастает. Если процесс равновесный, все промежуточные состояния равновесные и можно сказать, какое давление и температура в любой точке системы, то систему можно вернуть в исходное состояние без изменений в окружающей среде. Такой процесс называется обратимым.

При обратимых процессах энтропия частей системы может меняться, а энтропия всей системы остается постоянной. Вычисление вероятности F , входящей в выражение (3), представляет трудоемкий процесс. Во многих случаях важно знать не само значение энтропии, а ее изменение при переходе системы из одного состояния в другое. Существует довольно простой способ вычисления изменений энтропии.

Найдем изменение энтропии в рассмотренном нами примере расширения газа в пустоту

Так как энтропия каждого состояния не зависит от способа приведения системы в данное состояние, то изменение энтропии при расширении газа в вакуум должно совпадать с изменением энтропии в любом другом процессе, приводящем систему в такое же конечное состояние. Чем же отличается конечное состояние от начального? Отличаются, конечно, объемы. Температура газа при этом остается постоянной, т. к. газ при расширении в вакуум не совершает работы (отсутствует внешнее давление). Рассмотрим теперь вновь газ в сосуде объема V0 при температуре T , содержащей N молекул. Проведем изотермическое расширение газа до объема V . В таком процессе внутренняя энергия газа не изменяется, так как остается постоянной температура. Работа, совершенная газом при расширении, равна количеству теплоты, полученной от нагревате-

ля. Она может быть вычислена при помощи соотношений: δA = P dV и

P V = N RT , NA

В рассмотренном нами примере газ является подсистемой большой системы и находится постоянно в равновесии с другими частями системы (нагреватель). Из выражений (4) и (5) видно, что для этого равновесного процесса

59

Рассмотрим теперь другой сложный процесс перехода газа из состояния с параметрами V0, T в состояние с параметрами V , T . Осуществим такой переход в два этапа.

1 этап: газ адиабатически расширяется до объема V . При этом δQ = 0. Температура газа упадет на некоторую величину T , поскольку при расширении газ совершил работу.

2 этап: газ при постоянном объеме нагрелся до температуры среды T . При этом он получит количество теплоты δQ = νcV T . Здесь ν – количество молей газа, а cV – его молярная теплоемкость. В результате этих этапов система, как и в предыдущем случае, перешла в состояние с параметрами V и T . Если равенство (6) справедливо для всех равновесных

Правда, следует заметить, что количество теплоты δQ = νcV T сообщалось газу при изменяющейся температуре от T − T до T . Более правильным будет рассчитывать изменение энтропии δS, если разбить весь процесс на промежутки, в течение которых температура меняется мало, и просуммировать малые изменения энтропии

При очень мелком разбиении сумма заменяется интегралом.

При переходе системы из начального состояния в конечное неравновесным путем формула (9) несправедлива.

Существует строгое математическое доказательство справедливости формулы (9) для любого равновесного процесса. Это означает, что изменение энтропии, вычисленное по формуле (4), совпадающей с (6) при учете (5) статистическим способом, и изменение энтропии, вычисленное по формуле (7) термодинамическим способом, должны быть равны. Цель настоящей работы – проверить данное утверждение.

2. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

60