2.Орлов Н. Д. Справочник литейщика. Фасонное литье из сплавов тяжелых цветных металлов / Н. Д. Орлов, В. М. Чурсин. М.: Машино-

строение, 1971. 187 с.

3.Промышленные алюминиевые сплав: справочник / С. Г. Алиева, М. Б. Альтман, С. М. Амбарцумян [и др.]; о тв. редакторы Ф. И. Квасов, И. Н. Фридляндер. М.: Металлургия, 1984. 527 с.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

СЕКЦИЯ «ГЕОМЕТРИЯ И ТОПОЛОГИЯ»

ПРОДОЛЖЕНИЕ ФУНКТОРА СУПЕРРАСШИРЕНИЯ НА КАТЕГОРИЮ TYCH

Е. В. Омелина, студ. 4 курса

Научный руководитель – д. ф.-м. н., проф., зав. каф. А. В. Иванов

Введение

В работе рассмотрено понятие функтора суперрасширения в категории Comp –компактных хаусдорфовых пространств и их непрерывных отображений. Доказано, что функтор суперрасширения обладает инвариантным продолжением на категорию Tych.

Функтор суперрасширения

Рассмотрим некоторые необходимые понятия. Компакт – компактное хаусдорфово пространство. Comp – категория – это все компакты и их непрерывные отображения. Tych – категория – это все тихоновские пространства и их непрерывные отображения.

Говорят, что функтор F: Comp → Comp определен, если

1)каждому X Comp некоторым образом поставлен в соответствие компакт F(X) Comp;

2)каждому непрерывному отображению f: X → Y поставлено в соответствие непрерывное отображение F(f): F(X) → F(Y);

3)F(idX) = idF(X) (idX – тождественное отображение X, idF(X) – тождественное отображение F(X));

4)F(g о f) = F(g) о F(f).

Тихоновское пространство или вполне регулярное пространство – топологическое пространство, удовлетворяющее аксиоме отделимости

T1 и T3½.

Система γ замкнутых подмножеств пространства X называется сцепленной, если любые два элемента из семейства γ пересекаются.

142

По лемме Цорна всякая сцепленная система может быть дополнена до максимальной сцепленной системы (МСС). МСС называется сцепленная система, которую нельзя дополнить, не нарушая сцепленности [2].

Сцепленная система γ пространства X является МСС тогда и только тогда, когда γ обладает следующим свойством полноты: если замкнутое множество А X пересекается с каждым элементом из γ, то A γ [2, 156–161].

Пусть А – замкнутое множество из X. Любая МСС γ пространства А

содержится в единственной МСС γx пространства X и определяется следующим образом: γx={F X: F – замкнуто и F ∩A γ} [2, 156-161].

Обозначим λX – множество всех МСС пространства X. Введем базу топологии на λX следующим образом: О(U1, … ,Un)={γ λX: существует Fi γ, Fi Ui}, где U1, … ,Un – открытые подмножества X.

Известно, что суперрасширение λX любого пространства X ком-

пактно [2, 156-161].

Для произвольной точки x X через η(x) обозначим семейство всех замкнутых подмножеств пространства X, содержащих точку x. Система η(x) – МСС. Таким образом определено отображение η: X→ λX. Отображение η(x) непрерывно в силу равенства U = η-1O(U) для любого открытого множества U X. Из этого же равенства получаем, что η(U)=O(U) ∩η(X). Следовательно, отображение η: X→η(X) открыто. Кроме того, для Т1 – пространства X отображение η взаимнооднозначно, более того, η осуществляет вложение пространства X в его суперрасширение λX .

Операция λ является ковариантным функтором в категории Comp. Пусть f: X→Y – непрерывное отображение компактов, γ λX, обозначим β = {f(F): F γ} – МСС пространства f(X), тогда λf(γ) = {A Y: A – замкнуто и A ∩f(X) β}.

Компактное пространство bX называется компактификацией пространства X, если X гомеоморфно всюду плотному множеству bX. При этом можно считать, что X bX.

В семействе компактификаций пространства X определен частичный

порядок: b2X ≤ b1X, если существует непрерывное отображение f: b1X→b2X, такое, что f|X = idX. В семействе компактификаций существует наибольший элемент, который называется стоун-чеховской компактификацией пространства X и обозначается через βX [1,256-263].

Продолжение функтора F с категории Comp на категорию Tych

Пусть F – нормальный функтор в категории Comp [2, 161–166]. X – тихоновское пространство. βX – компактификация Стоуна – Чеха. bX –

Fβ(X)→Fb(X).

Функтор F обладает инвариантным продолжением на категорию Tych, если отображение F(f)|Fβ(X) является гомеоморфным для любого множества X и любой компактификации bX.

Пусть γ λX. Определим носитель γ так: suppγ = [ {F γ: F – минимальный по включению}].

Определим множества λβ(X)={γ λ(βX): suppγ X}, λβ(X) λ(βX) и

λb(X)={γ λ(bX): suppγ X}, λb(X) λ(bX).

Имеет место следующее предложение:

Пусть f: X→Y – непрерывное отображение. X, Y Comp, множество А X и [A] = X (А всюду плотно в X), множество B Y, f|A: A→B – биекция, тогда f|A – гомеоморфизм тогда и только тогда, когда для любого элемента γ X\A f(γ) B.

Теорема: λ обладает инвариантным продолжением на категорииTych. Доказательство. Надо доказать, что отображение λf| λβ(X) : λβ(X) → λb(X) – гомеоморфизм для любого множества X и любой компактифи-

supp(λf(γ)) f(suppγ) ∩X. {A ∩f-1(supp(λf(γ))): A γ} – сцепленная система в f-1(supp(λf(γ))), значит supp(γ) f-1(supp(λf(γ))) X. Получили противоречие. Значит λf(γ) λb(X).

Список литературы

1.Александров П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию. М.: Наука, 1977.

2.Федорчук В. В., Филиппов В. В. Общая топология. Основные кон-

струкции: учеб. пособие. 2-е изд., М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006.

144