24.Частный f-критерий Фишера для уравнения множественной регрессии

Значимость уравнения множественной регрессии в целом, так же как и в парной регрессии, оценивается с помощью F-критерия Фишера:

, где Dфакт - факторная сумма квадратов на одну степень свободы;

Dост - остаточная сумма квадратов на одну степень свободы;

R2 - коэффициент (индекс) множественной детерминации;

m – число параметров при переменных х

n – число наблюдений.

Частный F-критерий построен на сравнении прироста факторной дисперсии, обусловленного влиянием дополнительно включенного фактора, с остаточной дисперсией на одну степень свободы по регрессионной модели в целом. Предположим, что оцениваем значимость влияния х1 как дополнительно включенного в модель фактора. Используем следующую формулу:

, где - коэффициент множественной детерминации для модели с полным набором факторов;

- тот же показатель, но без включения в модель фактора х1;

n – число наблюдений

m – число параметров в модели (без свободного члена).

Если оцениваем значимость влияния фактора хn после включения в модель факторов x1,x2, …,xn-1, то формула частного  F-критерия определится как

В общем виде для фактора xi частный F-критерий Фишера определится как

Фактическое значение F-критерия Фишера сравнивается с табличным при 5%-ном или 1%-ном уровне значимости и числе степеней свободы: m и n-m-1. Если Fфакт>Fтабл(a,n,n-m-1), то дополнительное включение фактора xi в модель статистически оправданно и коэффициент чистой регрессии bi при факторе xi статистически значим. Если же Fфакт<Fтабл(a,n,n-m-1), то дополнительное включение фактора xi в модель существенно не увеличивает долю объясненной вариации признака y, следовательно, нецелесообразно его включение в модель; коэффициент регрессии при данном факторе в этом случае статистически незначим.

С помощью частного F-критерия Фишера можно проверить значимость всех коэффициентов регрессии в предположении, что каждый соответствующий фактор xi вводился в уравнение множественной регрессии последним. 

Если уравнение содержит больше двух факторов, то соответствующая программа ПК дает таблицу дисперсионного анализа, показывая значимость последовательного добавления к уравнению регрессии соответствующего фактора. Так, если рассматривается уравнение

y=a+b1x1+b2x2+ b3x3+ε,

то определяются последовательно F-критерий для уравнения с одним фактором х1, далее F-критерий для дополнительного включения в модель фактора х2, т.е. для перехода от однофакторного уравнения регрессии к двухфакторному, и, наконец, F-критерий для дополнительного включения в модель фактора х3 после включения в модель фактора х1 и х2. В этом случае F-критерий для дополнительного включения фактора х1 после х2 является последовательным в отличие от F-критерия для дополнительного включения в модель фактора х3, который является частным F-критерием, ибо оценивает значимость фактора в предположении, что он включен в модель последним.

26.Фиктивные переменные во множественной регрессии

До сих в качестве факторов рассматривались экономические переменные, принимающие количественные значения в некотором интервале. Вместе с тем может оказаться необходимым включить в модель фактор, имеющий два или более качественных уровней. Это могут быть разного рода атрибутивные признаки, таки, например, как профессия, пол, образования, климатические условия, принадлежность к определенному региону. Чтобы ввести такие переменные в регрессионную модель, им должны быть присвоены те или иные цифровые метки, т.е. качественные переменные должны быть преобразованы в количественные. Такого вида сконструированные переменные в эконометрике принято называтьфиктивными переменными.

Рассмотрим применение фиктивных переменных для функции спроса. Предположим что по группе лиц мужского и женского пола изучается линейная зависимость потребления кофе от цены. В общем виде для совокупности обследуемых уравнение регрессии имеет вид: гдеy – количество потребляемого кофе, x – цена.

Аналогичные уравнения могут быть найдены отдельно для лиц мужского пола: и женского пола:

Различия в потреблении кофе проявятся в различии средних и. Вместе с тем сила влиянияx на yможет быть одинаковой, т.е. В таком случае возможно построение общего уравнения регрессии с включением в него фактора «пол» в виде фиктивной переменной.

где - это фиктивные переменные, принимающие значения:

В общем уравнении регрессии зависимая переменная y рассматривается как функция не только цены x, но и пола (). Переменнаяz рассматривается как дихотомическая переменная, принимающая всего два значения: 1 и 0. при этом когда , тои, наоборот, припеременная

Для лиц мужского пола, когда и, объединенное уравнение регрессии составит:а для лиц женского пола, когдаиИными словами, различия в потреблении для лиц мужского и женского пола вызваны различиями свободных членов уравнения регрессии:Параметрb является общим для всей совокупности лиц, как для мужчин, так и для женщин.

Фиктивные переменные широко используются для оценки сезонных различий в потреблении. Они могут вводиться не только в линейные, но и в нелинейные модели, приводимые путем преобразования к линейному виду.

Прием введения в анализируемую линейную модель регрессии фиктивных переменных используется обычно при работе с неоднородными исходными статистическими данными. Статистическая надежность будет выше. В ходе построения регрессионной модели с фиктивными переменными мы получаем возможность одновременно проверять гипотезы о наличии или отсутствии статистически значимого влияния сопутствующих переменных на структуру анализируемой модели. Однако нельзя рассматривать фиктивные переменные как панацею при применении методов регрессии к неоднородным данным.