20.Множественная корреляция.

Практическая значимость уравнения множественной регрессии оценивается с помощью показателя множественной корреляции и его квадрата – коэффициента детерминации. Показатель множественной корреляции характеризует тесноту связи рассматриваемого набора факторов с исследуемым признаком, или, иначе, оценивает тесноту совместного влияния факторов на результат.

Независимо от формы связи показатель множественной корреляции может быть найден как индекс множественной корреляции:

, где - общая дисперсия результативного признака;

- остаточная дисперсия для уравнения у = f(x1,x2, … ,xp).

Методика построения индекса множественной корреляции аналогична построению индекса корреляции для парной зависимости. Границы его изменения те же: от 0 до 1, чем ближе его значение к 1, тем теснее связь результативного признака со всем набором исследуемых факторов. Величина индекса множественной корреляции должна быть больше или равна максимальному парному индексу корреляции:

.

При правильном включении факторов в регрессионный анализ величина индекса множественной корреляции будет существенно отличаться от индекса корреляции парной зависимости. Если же дополнительно включенные в уравнение множественной регрессии факторы третьестепенны, то индекс множественной корреляции может практически совпадать с индексом парной корреляции. Отсюда ясно, что, сравнивая индексы множественной и парной корреляции, можно сделать вывод о целесообразности включения в уравнение регрессии того или иного фактора.

Можно воспользоваться следующей формулой индекса множественной корреляции:

При линейной зависимости признаков формула индекса корреляции может быть представлена следующим выражением:

, где - стандартизованные коэффициенты регрессии

- парные коэффициенты корреляции результата с каждым фактором.

Величина множественного коэффициента корреляции зависит не только от корреляции резальтата с каждым из факторов, но и от межфакторной корреляции:

Рассмотренная формула позволяет определить совокупный коэффициент корреляции, не обращаясь при этом к уравнению множественной регрессии, а используя лишь парные коэффициенты корреляции.

 

Скорректированный индекс множественной корреляции содержит поправку на число степеней свободы, а именно остаточная сумма квадратов делится на число степеней свободы остаточной вариации (n-m-1), а общая сумма квадратов отклонения- на число степеней свободы в целом по совокупности (n-1).

Поскольку =1-R2, то

22.Частные коэффициенты корреляции

Коэффициент частной корреляции измеряет тесноту линейной связи между отдельным фактором и результатом при устранении воздействия прочих факторов модели.

Для качественной оценки тесноты связи можно использовать следующую классификацию:

0.1- 0.3- слабая связь

0.3-0.5 – умеренная связь

0.5-0.7- заметная связь

0.7-0.9- тесная связь

0.9-0.99- весьма тесная

Для расчета частных коэффициентов корреляции мо­гут быть использованы парные коэффициенты корреляции.

Для случая зависимости Y от двух факторов можно вычислить 2 коэффициента частной корреляции:

(2-ой фактор  фиксирован);

 

(1-ый фактор  фиксирован).

 

Это коэффициенты частной корреляции 1-ого порядка (порядок определяется числом факторов, влияние которых на результат устраняется).

Частные коэффициенты корреляции, рассчитанные по таким формулам изменяются от -1 до +1. Они используют­ся не только для ранжирования факторов модели по степени влияния на результат, но и также для отсева факторов. При малых значениях  нет смысла вводить в уравнение m-ый фактор, т.к. качество уравнения регрессии при его введении возрастет незначительно (т.е. теоретиче­ский коэффициент детерминации увеличится незначитель­но