9.Прогноз по линейному уравнению регрессию.

Пусть требуется оценить прогнозное значение призна­ка-результата для заданного значения признака-фактора .

Прогнозируемое значение признака-результата с дове­рительной вероятностью равной (1-a) принадлежит интер­валу прогноза:

где  - точечный прогноз;

        t - коэффициент доверия, определяемый по таблицам распределения Стьюдента в зависимости от уровня значи­мости a  и числа степеней свободы (n-2);

      - средняя ошибка прогноза.

Точечный прогноз рассчитывается по линейному уравнению регрессии:          

.

Средняя ошибка прогноза в свою очередь:

10.Средняя ошибка аппроксимации

Фактическое значение результативного признака y отличается от теоретических значений , рассчитанных по уравнению регрессии. Чем меньше это отличие, тем ближе теоретические значения подходят к эмпирическим, и лучше качество модели.

Величина отклонений фактических и расчетных значений результативного признака по каждому наблюдению представляет собойошибку аппроксимации.

Поскольку может быть как величиной положительной, так и отрицательной, то ошибки аппроксимации для каждого наблюдения принято определять в процентах по модулю.

Отклонения можно рассматривать как абсолютную ошибку аппроксимации, а- как относительную ошибку аппроксимации.

Чтобы иметь общее суждение о качестве модели из относительных отклонений по каждому наблюдению определяют среднюю ошибку аппроксимации: 

Возможно и иное определение средней ошибки аппроксимации: 

Если А£10-12%, то можно говорить о хорошем качестве модели.

12.Корреляция и детерминация для нелинейной регрессии.

Уравнение нелинейной регрессии, так же как и в линейной зависимости, дополняется показателем корреляции, а именно индексом корреляции (R):

или      

 

Величина данного показателя находится в границах: 0 ≤ R ≤ 1, чем ближе к единице, тем теснее связь рассматриваемых признаков, тем более надежно найденное уравнение регрессии.

Поскольку в расчете индекса корреляции используется соотношение факторной и общей суммы квадратов отклонений, то R2 имеет тот же смысл, что и коэффициент детерминации. В специ­альных исследованиях величину R2 для нелинейных связей называют индексом детерминации.

Оценка существенности индекса корреляции проводится, так же как и оценка надежности коэффициента корреляции.

Индекс детерминации используется для проверки существенности в целом уравнения нелинейной регрессии по F-критерию Фишера:

где  R2 - индекс детерминации;

       n - число наблюдений;

       т - число параметров при переменных х.

 

Величина т характеризует число степеней свободы для факторной суммы квадратов, а (n - т - 1) — число степеней свободы для остаточной суммы квадратов.

Индекс детерминации R2yx можно сравнивать с коэффициентом детерминации r2yx  для обоснования возможности применения линейной функции. Чем больше кривизна линии регрессии, тем величина коэффициента детерминации r2yx меньше индекса детерминации R2yx. Близость этих показателей означает, что нет необходимости усложнять форму уравнения регрессии и можно использовать линейную функцию. Практически если величина (R2yx — г2yx) не превышает 0,1, то предположение о линейной форме связи считается оправданным. В противном случае проводится оценка существенности различия R2yx, вычисленных по одним и тем же исходным данным, через t-критерий Стьюдента:

где m|R - r| - ошибка разности между R2yx и r2yx .

 

.

Если tфакт > tтабл., то различия между рассматриваемыми показателями корреляции существенны и замена нелинейной регрессии уравнением линейной функции невозможна. Практически если величина t < 2 , то различия между Ryx и ryx несущественны, и, следовательно, возможно применение линейной регрессии, даже если есть предположения о некоторой нелинейности рассматриваемых соотношений признаков фактора и результата.

Чтобы иметь общее суждение о качестве модели из относительных отклонений по каждому наблюдению, определяют среднюю ошибку аппроксимации как среднюю арифметическую простую.

 

 

 

Ошибка аппроксимации в пределах 5—7 % свидетельствует о хорошем подборе модели к исходным данным.